Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике, Письменный Д.Т., 2004

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике, Письменный Д.Т., 2004.
    Настоящая книга представляет собой курс лекций по теории вероятностей, случайным процессам и математической статистике.
Первая часть книги содержит основные понятия и теоремы теории вероятностей, такие как случайные события, вероятность, случайные функции, корреляция, условная вероятность, закон больших чисел и предельные теоремы. В отдельной главе приведены основные понятия теории случайных процессов (стационарный процесс, марковский процесс, теорема Винера-Хинчина).
Вторая часть книги посвящена математической статистике, в ней излагаются основы выборочного метода, теории оценок и проверки гипотез. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Предназначена для студентов экономических и технических ВУЗов.
Предмет теории вероятностей.
Любая томная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т. е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними. При этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта (наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям. Этим и занимаются большинство математических (и других) дисциплин. Обнаруженные закономерности явления называются детерминистическими (определенными).
Однако есть множество задач, для решения которых приходится (надо!) учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент неопределенности. Например, в вопросах стрельбы но цели невозможно без учета случайных факторов ответить на вопрос: сколько ракет нужно потратить для поражения цели? Невозможно предсказать, какая сторона выпадет при бросании монеты. Сколько лет проживет родившийся сегодня ребенок? Сколько времени проработает купленный нами телевизор? Сколько студентов опоздают на лекцию по теории вероятностей? И т.д. Такие задачи, исход которых нельзя предсказать с полной уверенностью, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и случайных, второстепенных факторов. Выявленные в таких задачах (опытах) закономерности называются статистическими (или вероятностными). Статистические закономерности исследуются методами специальных математических дисциплин — теории вероятностей и математической статистики.
Содержание
Введение 6
Раздел первый
Элементарная теория вероятностей и случайных процессов
Глава 1. Случайные события
1.1. Предмет теории вероятностей 8
1.2. Случайные события, их классификация 9
1.3. Действия над событиями 11
1.4. Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка) 13
1.5. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события 16
1.6. Статистическое определение вероятности 17
1.7. Классическое определение вероятности 18
1.8. Элементы комбинаторики 20
1.9. Примеры вычисления вероятностей 28
1.10. Геометрическое определение вероятности 31
1.11. Аксиоматическое определение вероятности 34
1.12. Свойства вероятностей 35
1.13. Конечное вероятностное пространство 36
1.14. Условные вероятности 37
1.15. Вероятность произведения событий. Независимость событий 38
1.16. Вероятность суммы событий 42
1.17. Формула полной вероятности 44
1.18. Формула Байеса (теорема гипотез) 45
1.19. Независимые испытания. Схема Бернулли 47
1.20. Формула Бернулли 48
1.21. Предельные теоремы в схеме Бернулли 51
Глава 2. Случайные величины
2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины 60
2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения 61
2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины 64
2.4. Плотность распределения и ее СВОЙСТВУ 69
2.5. Чистовые характеристики случайных величин 73
2.6. Производящая функция 84
2.7. Основные законы распределения случайных величин 85
Глава 3. Системы случайных величин
3.1. Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения 104
3.2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства 107
3.3. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства 110
3.4. Зависимость и независимость двух случайных величин 116
3.5. Условные законы распределения 118
3.6. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия 122
3.7. Корреляционный момент, коэффициент корреляции 124
3.8. Двумерное нормальное распределение 131
3.9. Регрессия. Теорема о нормальной корреляции 135
3.10. Многомерная (n-мерная) случайная величина (общие сведения) 139
3.11. Характеристическая функция и ее свойства 140
3.12. Характеристическая функция нормальной случайной величины 143
Глава 4. Функции случайных величин
4.1. Функция одного случайного аргумента 145
4.2. Функции двух случайных аргументов 150
4.3. Распределение функций нормальных случайных величин 158
Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей
5.1. Неравенство Чебышева 162
5.2. Теорема Чебышева 165
5.3. Теорема Бернулли 168
5.4. Центральная предельная теорема 170
5.5. Интегральная теорема Муавра—Лапласа 172
Глава 6. Основы теории случайных процессов
6.1. Понятие случайной функции (процесса) 176
6.2. Классификация случайных процессов 178
6.3. Основные характеристики случайного процесса 179
6.4. Стационарный случайный процесс в узком и широком смысле 187
6.5. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов 190
6.6. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов 191
6.7. Спектральное разложение стационарного случайного процесса 194
6.8. Спектральная плотность случайного процесса. Теорема Винера Хинчина 197
6.9. Стационарный белый шум 201
6.10. Понятие марковского случайного процесса 203
6.11. Дискретный марковский процесс. Цепь Маркова 205
6.12. Понятие о непрерывном марковском процессе. Уравнения Колмогорова 207
Раздел второй
Основы математической статистики
Глава 7. Выборки и их характеристики
7.1. Предмет математической статистики 212
7.2. Генеральная и выборочная совокупности 213
7.3. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения 215
7.4. Графическое изображение статистического распределения 219
7.5. Числовые характеристики статистического распределения 221
Глава 8. Элементы теории оценок и проверки гипотез
8.1. Оценка неизвестных параметров 225
8.2. Методы нахождения точечных оценок 231
8.3. Понятие интервального оценивания параметров 236
8.4. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения 238
8.5. Проверка статистических гипотез 244
8.6. Проверка гипотез о законе распределения 248
Ответы к упражнениям 255
Приложения 284.