Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1961

Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1961.
    Издание "Энциклопедии элементарной математики" задумано Академией педагогических наук РСФСР как пособие для учителей математики средней школы и студентов физико-математических факультетов педагогических и учительских институтов. Его назначение - дать систематическое изложение научных основ школьного предмета математики. Книга не может служить для первоначального изучения предмета. Она предназначена для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателем элементарной математики. Она не следует, как правило ни порядку, ни способу изложения математики в средней школе, так как то и другое обусловлено возрастными особенностями учащихся и образовательными целями средней школы, т.е. соображениями, которые не играют роли по отношению к подготовленному читателю-профессоналу. Книга начинается статьей, посвященной системам счисления и нумерации.
Далее идет статья о построении теоретических основ арифметики - рассматриваются весьма общие математические понятия (множества, группы, кольца и поля), а также аксиоматическое изложение теории натуральных чисел, на основе которой вводится теория целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Следующая статья посвящена вопросам, связанным с теорией делимости, в частности, теории цепных дробей. Последняя статья посвящена вопросам округления чисел, правилам приближенных вычислений, подсчета погрешностей и вспомогательным средствам вычислений.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.6
Введение.11
§ 1. Начальная стадия развития счёта.15
§ 2. Непозиционные системы счисления.27
§ 3. Алфавитные системы нумерации.31
§ 4. Поместные или позиционные системы счисления.38
§ 5. Распространение позиционного принципа записи чисел в Западной Европе и в России.50
§ 6. Дроби.57
Заключение.72
Введение. 77
Глава I. Множества.80
§ 1. Понятие о- множестве.80
§ 2. Операции над множествами.82
§ 3. Функция, отображение, мощность.84
§ 4. Конечные и бесконечные множества.89
§ 5. Упорядоченные множества.95
Глава II. Группы, кольца и поля. 100
§ 6. Группа.100
§ 7. Кольцо.108
§ 8. Поле.113
§ 9. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм. 120
§ 10. Расположенные кольца и поля. 125
Глава III. Натуральные числа. 133
§ 11. Аксиомы натуральных чисел.133
§ 12. Сложение.135
§ 13. Умножение.139
§ 14. Порядок.142
§ 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел.145
§ 16. Вычитание и деление.150
§ 17. Замечания о системе аксиом натуральных чисел. 152
Глава IV. Кольцо целых чисел. 157
§ 18. Принцип расширения в арифметике и алгебре. 157
§ 19. Эквивалентность и разбиение на классы. 159
§ 20. Определение кольца целых чисел. 160
§ 21. Свойства целых чисел. 168
Глава V. Поле рациональных чисел. 172
§ 22. Определение поля рациональных чисел.172
§ 23. Свойства рациональных чисел.179
Глава VI. Поле действительных чисел. 188
§ 24. Полные и непрерывные поля.188
§ 25. Определение поля действительных чисел.202
§ 26. Свойства действительных чисел.214
§ 27. Аксиоматическое определение действительных чисел.222
Глава VII. Поле комплексных чисел.227
§ 28. Определение поля комплексных чисел.227
§ 29. Свойства комплексных чисел.233
§ 30. Гиперкомплексные числа, кватернионы.241
Литература.252
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава I. Делимость и простые числа.255
§ 1. Введение.255
§ 2. Однозначное разложение чисел на простые множители. 256
§ 3. О простых числах.262
Глава II. Метод сравнений.271
§ 4. Введение .271
§ 5. Сравнения и их основные свойства.272
§ 6. Классификация чисел по данному модулю.277
§ 7. Сравнения, содержащие неизвестные.282
Глава III. Алгорифм Евклида и цепные дроби.291
§ 8. Алгорифм Евклида.291
§ 9. Элементарная теория цепных дробей.297
Глава IV. Представление чисел систематическими и цепными дробями.307
§ 10. Введение.307
§ 11. Систематические дроби.308
§ 12. Цепные дроби.315
Глава V. Цепные дроби и диофантовы приближения.322
§ 13. Подходящие дроби в роли наилучших приближений.322
§ 14. Диофантовы приближения.335
Глава VI. Алгебраические и трансцендентные числа.342
§ 15. Теорема Лиувилля и первое появление трансцендентных чисел.342
§ 16. Метод Кантора.347
§ 17. Арифметическая природа классических постоянных.349
Литература.352
УСТНЫЙ И ПИСЬМЕННЫЙ СЧЁТ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ
Глава I. Общие сведения о счёте и приближённых вычислениях 357
§ 1. Общие соображения об изучении счёта в школе.357
§ 2. Счёт устный.359
§ 3. Счёт письменный.362
§ 4. Вспомогательные средства вычисления.365
§ 5. Приближённые значения.377
§ 6. Различные способы оценки точности приближённых значений.380
§ 7. Обработка результатов измерений.383
Глава II. Учёт погрешностей.388
§ 8. Вычисления со строгим учётом погрешностей по способу границ.388
§ 9. Вычисления со строгим учётом погрешностей по способу границ погрешностей.392
§ 10. Предельные погрешности результатов действий над приближёнными значениями. Правила подсчёта цифр. 400
§ 11. Средние квадратические погрешности результатов действий над приближёнными числами. Принцип академика А. Н. Крылова 405
§ 12. Распределение погрешностей в результатах вычислений. .411
§ 13. Практические применения правил подсчёта цифр. Сводка этих правил.413
Глава III. Различные вопросы. 421
§ 14. Приближённые формулы. Сокращённые приёмы действий.421
§ 15. Математические таблицы.427
§ 16. Графические вычисления.429
§ 17. Счётная логарифмическая линейка.431
§ 18. Вычислительная работа в разные годы обучения. 437
Литература .441
Алфавитный указатель.442
Предисловие.
    Всё издание рассчитано на 7 книг объёмом от 350 до 450 страниц в каждой. Хотя эти книги и их разделы подчинены единому плану, всё же, как правило, ими можно пользоваться независимо одна от другой. Более того, разделы этих книг также могут читаться в большой мере независимо друг от друга. В то же время в отдельных статьях книги встречаются ссылки на ту или иную статью «Энциклопедии» х). Вот общий план издания:
    Книга   первая. Арифметика. Происхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений.