ЕГЭ, Пособие по математике для поступающих в ВУЗы, Часть 1-2, Королёва Т.М., Маркарян Е.Г., Нейман Ю.М., 2008

ЕГЭ, Пособие по математике для поступающих в ВУЗы, Часть 1-2, Королёва Т.М., Маркарян Е.Г., Нейман Ю.М., 2008.

   "Пособие по математике для поступающих в ВУЗы "предназначено выпускникам общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев и т.р.) для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ и обучению и ВУЗе. Оно может быть использовано па подготовительных курсах, факультативных занятиях в школах, а также для самостоятельных занятий учащихся.
Пособие составлено па основании программы по математике для средней школы. Его принципиальное отличие от большинства существующих пособий для подготовки к ЕГЭ состоит в том, что оно содержит теоретические основы арифметики, алгебры, геометрии и элементов математического анализа. По каждому из разделов приведены решения задач, часть из которых предлагались на ЕГЭ. Кроме того, пособие можно использовать как сборник задач. Все задачи для самостоятельного решения снабжены ответами.
   Понятие множества является одним из основных в математике. Это неопределяемое понятие, его можно лишь описать или пояснить на примерах. Можно сказать так : множество это совокупность предметов (объектов) определенной природы. Например, множество точек на плоскости, множество треугольников с равной площадью и т.д.
Объекты множества называются его элементами. Множество принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы     строчными буквами.
Если элемент х принадлежит множеству А. то этот факт записывается гак : х € А. Знак € называется знаком принадлежности. Если элемент х не содержится в множестве А, то этот факт записывается так : х € А.
В математике для числовых множеств приняты следующие обозначения :
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел:
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.
Множество, не имеющее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом 0.
В некоторых случаях множество можно задать перечислением элементов. Например. запись А = {0; 1; 2: 3} означает, что множество А состоит только из элементов 0; 1; 2; 3.
Не все множества можно задать перечислением элементов. Это, например, множества, содержащие бесконечное число элементов. В подобных случаях задают множество с помощью характеристического свойства его элементов. Например, А = {х, 1 < х < 2} означает, что элементами множества А являются все числа больше 1 и меньше 2.
Если два множества А и Б состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что А и В совпадают, или А = В.
Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. В этом случае пишут А С В. Знак С называется знаком включения.
Оглавление
ЧАСТЬ 1
1 Действительные числа 5
1.1 Элементы теории множеств и математической логики 5
1.2 Множество натуральных чисел 8
1.3 Множество рациональных чисел 12
1.4 Действия с действительными числами 15
1.5 Задачи для самостоятельного решения 23
1.6 0тветв1 к задачам для самостоятельного решения 28
2 Алгебраические выражения 29
2.1 Основные понятия 29
2.2 Многочленв1 30
2.2.1 Формулв1 сокращенного умножения 30
2.2.2 Многочленв1 от одной переменной 30
2.2.3 Квадратный трехчлен 34
2.2.4 Разложение многочлена на множители 36
2.3 Алгебраические дроби 38
2.4 Иррациональные выражения 41
2.5 Задачи для самостоятельного решения 46
2.6 Ответв1 к задачам для самостоятельного решения 50
3 Алгебраические уравнения, неравенства и системы 51
3.1 Рациональные уравнения 51
3.1.1 Уравнения с одной переменной 51
3.1.2 Линейные уравнения 51
3.1.3 Квадратные уравнения 52
3.1.4 Рациональные уравнения высших степеней 54
3.1.5 Задачи на составление уравнений 57
3.2 Система рациональных уравнений 59
3.2.1 Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными 59
3.2.2 Нелинейные системв1 уравнений 60
3.2.3 Системв1 п уравнений с п неизвестными (п > 2) 62
3.2.4 Задачи на составление систем уравнений 63
3.3 Рациональные неравенства 64
3.4 Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля 68
3.5 Иррациональные уравнения и неравенства 74
3.5.1 Иррациональные уравнения 74
3.5.2 Иррациональные неравенства 79
3.6 Задачи для самостоятельного решения 82
3.7 Ответы к задачам для самостоятельного решения 93
4 Числовые последовательности 95
4.1 Основные понятия 95
4.2 Арифметическая прогрессия 96
4.3 Геометрическая прогрессия 102
4.4 Задачи для самостоятельного решения 110
4.5 Ответы к задачам для самостоятельного решения 114
5 Функции и графики 115
5.1 Понятие функции 115
5.1.1 Определение функции и способы ее задания 115
5.1.2 График функции 117
5.2 Общие свойства функции 118
5.2.1 Четные и нечетные функции 118
5.2.2 Убывание и возрастание функций 122
5.2.3 Периодические функции 123
5.2.4 Наибольшее и наименьшее значения функции. Ограниченные функции 125
5.2.5 Исследование функции 125
5.3 Обратная функция 126
5.3.1 Взаимно однозначное отображение 126
5.3.2 Обратная функция 126
5.3.3 График обратной функции 127
5.4 Основные элементарные функции 127
5.4.1 Степенная функция у = ха 127
5.4.2 Показательная и логарифмическая функции 129
5.4.3 Тригонометрические функции 131
5.4.4 Обратные тригонометрические функции 135
5.5 Суперпозиции функций и их графики 139
5.5.1 Сложная функция 139
5.5.2 Основные приемы построения графика сложной функции 139
5.6 Задачи для самостоятельного решения 142
5.7 Ответы к задачам для самостоятельного решения 144
ЧАСТЬ 2
6 Тригонометрия 5
6.1 Тригонометрические преобразования и вычисления 5
6.2 Действия с обратными тригонометрическими функциями 7
6.3 Тригонометрические уравнения 10
6.4 Тригонометрические неравенства 16
6.5 Задачи для самостоятельного решения 18
6.6 Ответы к задачам для самостоятельного решения 23
7 Логарифмические и показательные уравнения и неравенства 24
7.1 Тождественные преобразования и вычисление показательных и логарифмических выражений 24
7.2 Показательные уравнения 26
7.2.1 Уравнения вида af(x) = а(х) (а > 0, а = 1) 26
7.2.2 Уравнения вида а(х) =b 26
7.2.3 Уравнения вида Аакх+п + Вакх+т = С 27
7.2.4 Уравнения вида Аа2х + Вахbх + Сb2х = 0 27
7.3 Логарифмические уравнения 28
7.4 Решение уравнений, содержащих логарифмическую и показательную функции 31
7.5 Системы показательных и логарифмических уравнений 34
7.6 Показательные и логарифмические неравенства 35
7.7 Задачи для самостоятельного решения 37
7.8 Ответы к задачам для самостоятельного решения 40
8 Элементы математического анализа 41
8.1 Производная 41
8.1.1 Вычисление производных 41
8.1.2 Касательная к графику функции 43
8.1.3 Механический смысл производной 46
8.2 Исследование функции с помощью производной 47
8.2.1 Признаки возрастания и убывания функции 47
8.2.2 Критические точки функции, максимумы и минимумы 49
8.2.3 Наибольшее и наименьшее значения функции 51
8.3 Первообразная и интеграл 53
8.3.1 Первообразная, ее свойства и правила нахождения 53
8.4 Приложения интеграла 56
8.5 Задачи для самостоятельного решения 61
8.6 Ответы к задачам для самостоятельного решения 68
9 Геометрия 69
9.1 Векторы 69
9.2 Метод координат на плоскости и в пространстве 75
9.3 Планиметрия 83
9.4 Стереометрия 90
9.5 Задачи для самостоятельного решения 97
9.6 Ответы к задачам для самостоятельного решения 104