Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ, Фалин Г.И., Фалин А.И., 2006

Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ, Фалин Г.И., Фалин А.И., 2006.

   В книге собрано более 1500 задач по алгебре, предлагавшихся на вступительных испытаниях по математике в Московском государственном университете (как основных, так и предварительных), а также задачи тестов и выпускных экзаменов подготовительного отделения МГУ. Задачи сгруппированы по типам, что позволяет составить представление об основных темах, затрагиваемых на экзаменах, а также об основных методах решения рассматриваемых видов задач. Ко всем задачам даны ответы. Для наиболее характерных задач приведены подробные решения.
Книга будет полезна абитуриентам при подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ.
   Данное учебное пособие предназначено для подготовки к вступительным экзаменам по математике в МГУ. Оно составлено на основе задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова, факультетских олимпиадах (которые фактически являются предварительными экзаменами), задач заочных туров и тестов, а также задач выпускных экзаменов подготовительного отделения.
Задачи вступительных испытаний по математике (как письменных, так и устных) ежегодно публикуются в «Справочнике для поступающих в Московский университет», разнообразных сборниках, регулярно издаваемых механико-математическим факультетом, факультетом вычислительной математики и кибернетики, физическим факультетом, другими факультетами. В этих изданиях задачи письменных экзаменов Публикуются в виде вариантов, реально предлагавшихся на вступительных испытаниях, а задачи устных экзаменов публикуются общим списком. В этом виде задачи полезны на заключительном этапе подготовки, когда абитуриент репетирует будущий экзамен. Подготовка к экзамену по математике в строгом смысле этого слова предполагает изучение материала в определенной последовательности. Эта последовательность определяется методическими взглядами преподавателя.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Задачи
Глава 1. Алгебраические преобразования 9
1.1. Арифметические вычисления с дробями 9
1.2. Многочлены 9
1.3. Алгебраические дроби 11
1.4. Доказательство неравенств 12
1.4.1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое 12
1.4.2. Среднее гармоническое 14
1.4.3. Неравенство Коши—Буняковского 14
1.4.4. Неравенство треугольника 15
1.4.5. Неравенство Бернулли 15
1.4.6. Прочее 15
1.5. Радикалы 17
1.6. Степени 20
1.7. Логарифмы 20
Глава 2. Уравнения 27
2.1. Рациональные уравнения 27
2.1.1. Целые рациональные (алгебраические) уравнения 27
2.1.2. Дробно-рациональные уравнения 30
2.1.3. Уравнения, включающие функции [х] и {х} 31
2.2. Уравнения с радикалами 32
2.2.1. Решение возведением в степень 32
2.2.2. Метод введения новой неизвестной 34
2.2.3. Использование специфических преобразований выражений с радикалами 37
2.2.4. Уравнения вида уа + у/ь = уг 38
2.2.5. Графический метод 39
2.2.6. Метод оценок 40
2.3. Показательные уравнения 42
2.3.1. Уравнения, приводимые к виду ах = а9 42
2.3.2. Метод введения новой неизвестной г 44
2.3.3. Графический метод 47
2.3.4. Метод оценок 48
2.4. Логарифмические уравнения 49
2.4.1. Уравнения, приводимые к виду loga f(x) = logag(x) 49
2.4.2. Метод введения новой неизвестной 52
2.4.3. Графический метод и метод оценок 56
2.5. Функциональные уравнения 57
Глава 3. Неравенства 60
3.1. Алгебраические неравенства 60
3.1.1. Линейные и квадратичные неравенства 60
3.1.2. Неравенства, содержащие функции [х] и {х} 61
3.1.3. Дробные неравенства и неравенства высших степеней 61
3.2. Задачи с модулями 64
3.2.1. Универсальный метод решения 64
3.2.2. Метод введения новой неизвестной 67
3.2.3. Специальные методы решения 68
3.3. Уравнения и неравенства, включающие функции шах и min 72
3.4. Показательные неравенства 73
3.4.1. Неравенства, приводимые к виду а^х^ < а9^ 73
3.4.2. Метод введения новой неизвестной 76
3.4.3. Графический метод и метод оценок 79
3.5. Логарифмические неравенства 79
3.5.1. Неравенства, приводимые к виду loga/(x) < loga^(x) 79
3.5.2. Метод введения новой неизвестной 87
3.5.3. Графические методы и метод оценок 91
3.6. Неравенства с радикалами 93
3.6.1. Метод введения новой неизвестной 03
3.6.2. Решение возведением в степень 95
3.6.3. Более сложные преобразования 97
3.6.4. Графический метод и метод оценок 101
Глава 4. Системы 102
4.1. Метод исключения 102
4.2. Метод введения новых неизвестных 108
4.2.1. Тригонометрические подстановки 113
4.3. Выделение в системе квадратного трехчлена 113
4.4. Другие специальные преобразования 115
4.5. Графический метод 116
4.6. Метод оценок 117
Глава 5. Области на координатной плоскости 119
5.1. Многоугольники 119
5.2. Фигуры, связанные с окружностью 1Й0
5.3. Более сложные фигуры 123
5.4. Области на двумерной целочисленной решетке 125
Глава 6. Прогрессии и числовые последовательности 128
6.1. Текстовые задачи на прогрессии ....." 128
6.1.1. Арифметическая прогрессия. 128
6.1.2. Геометрическая прогрессия 132
6.1.3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 135
6.1.4. Смешанные задачи 135
6.2. Функциональные уравнения для последовательностей 137
6.3. Суммирование числовых последовательностей 138
Глава 7. Задачи с целочисленными переменными 142
7.1. Признаки делимости 142
7.2. Основная теорема арифметики 142
7.3. Однородные уравнения 149
7.4. Уравнения вида ах + Ьу = с 150
7.5. Уравнения, приводимые к виду у = -rj-4 152
7.6. Деление с остатком 155
7.7. Использование оценок 157
7.8. Прочие задачи 160
Глава 8. Текстовые задачи 163
8.1. Простые задачи на составление уравнений 163
8.2. Задачи на многозначные целые числа 165
8.3. Задачи на проценты 167
8.4. Задачи на смеси и сплавы 174
8.5. Задачи на совместную работу 179
8.6. Задачи на движение 186
8.6.1. Движение по окружности 205
8.7. Задачи с целочисленными переменными 208
8.8. Прочие задачи 210
Глава 9. Задачи с параметрами 212
9.1. Прямой метод решения 212
9.2. Геометрический метод решения 221
9.3. Использование свойств инвариантности 225
9.4. Использование свойств квадратного трехчлена 226
Глава 10. Функции 232
10.1. Графики 232
10.2. Четность/нечетность 233
10.3. Монотонность 233
10.4. Область значений 234
10.5. Экстремумы функций одной переменной 236
10.6. Экстремумы функций нескольких переменных 239
10.6.1. Тригонометрические подстановки 241
10.7. Экстремумы функций целочисленных переменных 242
10.8. Текстовые задачи на экстремумы 243
Решения
Решения к главе 1 253
Решения к главе 2 263
Решения к главе 3 287
Решения к главе 4 304
Решения к главе 5 317
Решения к главе 6 322
Решения к главе 7 331
Решения к главе 8 338
Решения к главе 9 347
Решения к главе 10 356