Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB

Горбаченко В.И.
ISBN: 978-5-9775-0725-7
Издательство: БХВ-Петербург
Год издания: 2011
Страниц: 318
Язык: русский
Формат: PDF
Размер: 10.5 Мб
Излагаются теоретические основы численных методов, включая теорию погрешностей, особенности машинной арифметики, корректность и обусловленность вычислительных задач; современные прямые и итерационные методы решения больших систем линейных алгебраических уравнений. Основное внимание уделено современным итерационным методам на основе подпространств Крылова.
Рассмотрено решение частичной и полной проблемы собственных значений, в том числе для больших разреженных матриц. Для основных вычислительных методов приведены реализации с использованием программ, разработанных автором, а также соответствующие функции системы MATLAB.
Для студентов и преподавателей высших учебных заведений.
Оглавление
Введение............................................................................................................................1
Глава 1. Теоретические основы численных методов..............................................5
1.1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент......................5
1.2. Погрешности вычислений.........................................................................................7
1.2.1. Источники погрешностей вычислений.............................................................7
1.2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность..............9
1.2.3. Особенности машинной арифметики..............................................................11
1.2.4. Трансформированные погрешности арифметических операций.................15
1.2.5. Трансформированные погрешности вычисления функций..........................18
1.3. Свойства вычислительных задач и алгоритмов....................................................19
1.3.1. Корректность вычислительной задачи............................................................19
1.3.2. Обусловленность вычислительной задачи......................................................22
1.3.3. Требования, предъявляемые к численному методу.......................................28
1.4. Вопросы и задания для самопроверки...................................................................29
Библиографический список к главе 1...........................................................................30
Глава 2. Прямые методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.........................................................................33
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрицы и их свойства.........33
2.2. Метод Гаусса............................................................................................................37
2.3. Метод прогонки.......................................................................................................41
2.4. Метод LU-разложения.............................................................................................43
2.5. Метод Холецкого.....................................................................................................45
2.6. Метод LDLT-разложения.........................................................................................48
2.7. Метод QR-разложения.............................................................................................50
2.7.1. Метод вращений................................................................................................50
2.7.2. Метод отражений..............................................................................................57
2.7.3. Приведение матриц к форме Хессенберга......................................................62
2.8. Вычисление определителей и обращение матриц................................................63
2.9. Оценка погрешностей решений, получаемых прямыми методами....................65
2.10. Решение систем с прямоугольными матрицами.................................................66
2.10.1. Постановка задачи наименьших квадратов. Нормальные уравнения........66
2.10.2. Использование QR-разложения для решения задачи наименьших квадратов..........................................................................................................68
2.10.3. Использование сингулярного разложения....................................................71
2.11. Реализация прямых методов в MATLAB............................................................74
2.11.1. Некоторые функции матричных вычислений и реализации прямых методов в MATLAB........................................................................................74
2.11.2. Хранение и обработка разреженных матриц................................................87
2.11.3. Примеры программ.........................................................................................98
2.12. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......................................109
2.13. Вопросы и задания для самопроверки...............................................................116
Библиографический список к главе 2.........................................................................117
Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.......................................................................119
3.1. Дискретизация задач математической физики и особенности решения
систем алгебраических уравнений Equation Chapter 3 Section 1........................119
3.2. Основные теоретические положения итерационных методов..........................125
3.3. Метод Ричардсона..................................................................................................130
3.4. Методы простой итерации и Якоби.....................................................................132
3.5. Методы Зейделя и последовательной верхней релаксации...............................135
3.5.1. Метод Зейделя.................................................................................................135
3.5.2. Метод последовательной верхней релаксации.............................................136
3.6. Блочные и асинхронные итерационные методы.................................................140
3.7. Методы спуска.......................................................................................................142
3.8. Предобусловливатели............................................................................................149
3.9. Методы подпространств Крылова........................................................................151
3.9.1. Краткие сведения из функционального анализа и линейной алгебры.......151
3.9.2. Проекционные методы....................................................................................158
3.9.3. Подпространства Крылова.............................................................................163
3.9.4. Методы ортогонализации...............................................................................164
3.9.5. Метод сопряженных градиентов...................................................................174
3.9.6. Методы подпространств Крылова для несимметричных и знаконеопределенных задач.....................................................................................184
3.10. Итерационные методы решения нормальных систем линейных алгебраических уравнений..................................................................................197
3.11. Итоговые замечания............................................................................................202
3.12. Реализация итерационных методов в MATLAB...............................................203
3.12.1. Некоторые функции реализации итерационных методов в MATLAB.......203
3.12.2. Примеры программ.......................................................................................212
3.13. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......................................232
3.14. Вопросы и задания для самопроверки...............................................................234
Библиографический список к главе 3 ......................................................................... 235
Глава 4. Вычисление собственных значений и собственных
векторов матриц.........................................................................................239
4.1. Собственные пары матриц и их свойства............................................................239
4.2. Решение частичной проблемы собственных значений......................................245
й метод.............................................................................................245
4.2.2. Метод скалярных произведений....................................................................250
4.2.3. Метод обратных итераций. Обратные итерации со сдвигами....................252
4.2.4. Градиентный метод решения частичной проблемы собственных значений...........................................................................................................254
4.3. Решение полной проблемы собственных значений...........................................255
4.3.1. QR-алгоритм решения полной проблемы собственных значений.............255
4.3.2. Методы для симметричных задач на собственные значения......................263
4.3.3. Использование QR-алгоритма для вычисления собственных векторов .... 265
4.4. Вычисление сингулярного разложения...............................................................267
4.4.1. Приведение матрицы к двухдиагональной форме.......................................267
4.4.2. Сингулярное разложение двухдиагональной матрицы...............................270
4.5. Вычисление собственных значений больших разреженных матриц................275
4.5.1. Метод одновременных итераций...................................................................275
4.5.2. Метод Арнольди.............................................................................................. 278
4.5.3. Метод Ланцоша...............................................................................................281
4.6. Обобщенная задача на собственные значения .................................................... 283
4.6.1. Основы теории.................................................................................................283
4.6.2. Решение обобщенной задачи на собственные значения.............................284
4.7. Вычисление собственных пар в MATLAB..........................................................288
4.7.1. Стандартные функции MATLAB...................................................................288
4.7.2. Примеры программ.........................................................................................296
4.8. Задания для лабораторных и самостоятельных работ........................................301
4.9. Вопросы и задания для самопроверки.................................................................302
Библиографический список к главе 4 ......................................................................... 303
Литература по вычислительной математике.......................................................305
Литература по системе MATLAB.......................................................................309
Предметный указатель .............................................................................................. 311

file-space.org
turbobit.net
goldfiles.org
startfiles.org