Замечательные неравенства, 10-11 класс, Учебное пособие, Гомонов С.А., 2006

Замечательные неравенства, 10-11 класс, Учебное пособие, Гомонов С.А., 2006.
    Учебное пособие состоит из двух разделов, содержащих десять глав. В первой части рассматриваются приемы установления истинности неравенств, во второй дается представление о применении неравенств к решению оптимизационных задач.
В каждой главе приведены задачи для самостоятельного решения, темы для рефератов и литература к ним. В конце пособия даются три контрольные работы, краткий биографический словарик, ответы к наиболее трудным заданиям и обширная библиография.
Некоторые понятия и свойства, считающиеся известными.
Прежде всего, вот что будем считать известным: во-первых, что любое действительное число х может быть только трех видов: или оно положительное — его десятичная запись (т. е. запись в десятичной системе счисления) начинается со специального опознавательного знака «+» (плюс), который, впрочем, часто договариваются (ради краткости записей) не писать; или оно равно нулю (тогда его имя, т. е. обозначение, — это 0); или, наконец, положительным будет число — х, и тогда само число x называют отрицательным и его десятичная запись начинается опознавательным знаком «—» (минус);
во-вторых, что для любых двух положительных чисел x и у их сумма и их произведение — числа положительные, и это справедливо и для трех, и для четырех и т. д. положительных чисел;
в-третьих, что справедливы переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения, равно как и распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения и вычитания.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Часть 1. Замечательные неравенства 9
Глава I. Числовые неравенства и их свойства 9
§ 1. Некоторые понятия и свойства, считающиеся известными 9
§ 2. Понятия «больше» и «меньше» для действительных чисел. Числовые неравенства 10
§ 3. Простейшие свойства числовых неравенств 11
Литература для повторения 14
Упражнения для повторения 14
Темы докладов и рефератов и литература к ним 15
Глава II Основные методы установления истинности числовых неравенств, или как узнать, «что больше?» 16
§ 1. Сравнение двух действительных чисел (заданных как значения числовых выражений) «по определению» 17
§ 2. Сравнение двух положительных действительных чисел путем сравнения с единицей их отношения 18
§ 3. Сравнение действительных чисел с помощью сравнения их степеней 18
§ 4. Метод сравнения двух чисел с помощью нахождения «промежуточного» для них числа (метод оценок «сверху» и «снизу») 20
§ 5*. Метод вспомогательной функции и использования ее свойств 21
§ 6. Метод применения замечательных неравенств 22
§ 7*. Применение определенного интеграла 23
§ 8. Решения задач, иллюстрирующих перечисленные выше методы и не только их 24
Задачи для самостоятельного решения 27
Темы докладов и рефератов и литература к ним 30
Глава III. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения 31
§ 1. Понятие неравенства с переменными и его решения. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Опровержимые неравенства 32
§ 2. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными 40
§ 3. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения 56
Задачи для самостоятельного решения 62
Темы докладов и рефератов и литература к ним 66
Глава IV. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 68
§ 1. Метод перебора всех вариантов («полная индукция») и метод математической индукции. Система аксиом Джузеппе Пеано 68
§ 2. Схема применения принципа (аксиомы) математической индукции и некоторые модификации принципа математической индукции 69
§ 3*. Теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей 74
§ 4. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 79
Задачи для самостоятельного решения 84
Темы докладов и рефератов и литература к ним 87
Глава V. Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач 89
§ 1. Неравенство Коши—Буняковского и условия его реализации в варианте равенства 90
§ 2*. Векторный вариант записи неравенства Коши—Буняковского и тригонометрические подстановки 93
Задачи для самостоятельного решения 98
Темы докладов и рефератов и литература к ним 102
Глава VI. Неравенства подсказывают методы их обоснования 104
§ 1*. Приближение к экстремуму выравниванием значений переменных (метод Штурма) 104
§ 2*. Использование симметричности, однородности и цикличности левой и правой частей неравенства 110
§ 3. Геометрические неравенства, устанавливаемые с применением соотношений между длинами сторон треугольника 117
§ 4*. Условные тождества 119
Задачи для самостоятельного решения 120
Темы докладов и рефератов и литература к ним 124
Часть 2. Средние величины и соотношения между ними 127
Глава VII. Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение 128
§ 1. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое в случае двух и большего числа параметров. Соотношения между ними 128
§ 2. Геометрические интерпретации. Четыре средние линии трапеции 134
§ 3*. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое 138
§ 4*. Симметрические средние. Теорема Мюрхеда 139
§ 5*. Круговые неравенства, методы их доказательства и опровержения 141
§ 6. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства 145
§ 7. Средние степенные и средние взвешенные степенные 147
Задачи для самостоятельного решения 152
Темы докладов и рефератов и литература к ним 153
Глава VIII. Неравенство Чебышёва и некоторые его обобщения 155
§ 1. Неравенство Чебышёва и некоторые его простейшие обобщения 155
§ 2*. Некоторые обобщения неравенств Чебышёва и Коши—Буняковского 160
Задачи для самостоятельного решения 168
Темы докладов и рефератов и литература к ним 169
Глава IX. Генераторы замечательных неравенств 170
§ 1. Мы с ними уже встречались 170
§ 2*. Свойства одномонотонных последовательностей — источник замечательных неравенств 183
§ 3. Неравенство Иенсона 198
Неравенства Коши—Гельдера и Минковского 213
Задачи для самостоятельного решения 217
Темы докладов и рефератов и литература к ним 221
Глава X. Применение неравенств 223
§ 1. Неравенства в финансовой математике 224
§ 2. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию 226
§ 3. Поиск наибольших и наименьших значений функций с помощью замечательных неравенств 229
Задачи для самостоятельного решения 233
Темы докладов и рефератов и литература к ним 235
Контрольные работы 236
Краткий биографический словарик 239
Ответы 241
Библиография 243.