Задачи по стереометрии. Прасолов В.В. 2010

Название: Задачи по стереометрии.
Автор: Прасолов В.В.
2010
   В книгу включено около 800 задач по стереометрии, снабжённых подробными решениями. Большинство задач по своей тематике относится к школьной программе. Уровень их трудности в основном несколько выше обычных школьных задач, и есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в большом наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
   Эта книга вместе с изданными ранее книгами «Задачи по планиметрии» и «Задачи по алгебре» арифметике и анализу» составляет единый сборник задач по математике для учащихся физико-математических классов. В нём представлены практически все темы по математике, которые изучаются в школе в специализированных классах. Основу этого сборника задач составляют задачи из журнала «Квант», задачи, в разное время предлагавшиеся на математических олимпиадах, и задачи из архивов математических олимпиад и математических кружков.
В этой книге, как и в двух предыдущих, тоже принята подробная рубрикация. Задачи разбиты на 22 главы, каждая из которых состоит из нескольких параграфов. За основу классификации были приняты методы решения задач, но во многих случаях задачи пришлось описать по внешним признакам. Главная цель этого подробного разбиения — помочь читателю ориентироваться в таком большом собрании задач. Книга снабжена подробным предметным указателем, который служит той же цели.
При решении стереометрических задач часто используются некоторые факты из планиметрии. При ссылке на такие факты указывается номер соответствующей задачи в книге «Задачи по планиметрии» (М.: МЦНМО, 2007).
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Прямые и плоскости в пространстве
§1. Пересечения прямых и плоскостей (8). §2. Углы между скрещивающимися прямыми (9). §3. Угол между прямой и плоскостью (9). §4. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями (9). §5. Скрещивающиеся прямые (10). §6. Теорема Пифагора в пространстве (11). §7. Метод координат (11).
Решения
Глава 2. Проекции, сечения, развёртки
§1. Вспомогательные проекции (20). §2. Теорема о трёх перпендикулярах (21). §3. Площадь проекции многоугольника (21). §4. Задачи о проекциях (22). §5. Вспомогательные сечения (22). §6. Задачи о сечениях (23). §7. Вспомогательные развёртки (23). §8. Задачи о развёртках (24).
Решения
Глава 3. Объём
§1. Объём тетраэдра и пирамиды (34). §2. Объём многогранников (35). §3. Объём круглых тел (35). §4. Свойства объёма (36). §5. Вычисление объёма (36). §6. Вспомогательный объём (37). §7. Площадь поверхности. Теоремы Гюльдена (38).
Решения
Глава 4. Сферы
§1. Длина общей касательной (46). §2. Касательные к сферам (46). §3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере (47). §4. Касающиеся сферы (47). §5. Угол между сферами (48). §6. Разные задачи (48). § 7. Площадь сферической полоски и объём шарового сегмента (49). §8. Радикальная плоскость (50). §9. Полюс и полярная плоскость (51).
Решения
Глава 5. Пространственные многоугольники
§1. Середины сторон пространственного четырехугольника (64). §2. Пространственный четырехугольник (64), §3. Обобщённая теорема Менелая (64). §4. Разные задачи (65). §5. Описанные многоугольники (66). §6. Ортологические треугольники (66). §7. Ортологические четырёхугольники (67). Решения
Глава 6. Трёхгранные и многогранные углы
§1. Полярный трёхгранный угол (76). §2. Неравенства с трёхгранными углами (76). §3. Теоремы синусов и косинусов (77). §4. Разные задачи (77). §5. Многогранные углы (78). §6. Теоремы Чевы и Менелая (79).
Решения
Глава 7. Сферическая геометрия
§1. Окружности (91). §2. Сферические треугольники (92). §3. Теорема Птолемея (94). §4. Площадь сферического многоугольника (94). §5. Геометрические места точек (95). §6. Телесный угол (95). §7. Выпуклые многоугольники (96). §8. Радикальная ось (96).
Решения
Глава 8. Тетраэдр
§1. Медианы и бимедианы тетраэдра (108). §2. Свойства тетраэдра (108). §3. Правильный тетраэдр (НО). §4. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами (ПО). §5. Прямоугольный тетраэдр (ПО). §6. Равногранный тетраэдр (111). §7. Ортоцентрический тетраэдр (113). §8. Каркасный тетраэдр (114). §9. Достраивание тетраэдра (115). §10. Точка Монжа (116). §11. Изогональное сопряжение (116). §12. Подерный тетраэдр (118). §13. Прямая Эйлера (118). §14. Сфера 12 точек (118). §15. Ортологические тетраэдры (119). §16. Точки Лемуана (120). Решения
Глава 9. Пирамида и призма
§1. Правильная пирамида (143). §2. Произвольная пирамида (143).
§3. Призма (144).
Решения
Глава 10. Геометрические места точек и построения
§1. Скрещивающиеся прямые (149). §2. Сфера и трёхгранный угол (150). §3. Разные ГМТ (150). §4. Вспомогательные ГМТ (151). §5. Построения на изображениях (151). §6. Построения, связанные с пространственными фигурами (152).
Решения
Глава 11. Векторы
§1. Простейшие свойства векторов (161). §2. Скалярное произведение. Соотношения (161). §3. Скалярное произведение. Неравенства (163). §4. Линейные зависимости векторов (163). §5. Разные задачи (164). §6. Векторное произведение (164). §7. Уравнение общего перпендикуляра (166). §8. Выпуклые линейные комбинации (167). §9. Метод усреднения (168).
Решения
Глава 12. Геометрические преобразовании
§1. Параллельный перенос (185). §2. Симметрия относительно точки (185). §3. Симметрия относительно прямой (186). §4. Оси симметрии (186). §5. Симметрия относительно плоскости (186). §6. Плоскости симметрии (187). §7. Гомотетия (187). §8. Поворот вокруг прямой (188). §9. Композиции преобразований (189). §10. Классификация движений (189). §11. Отражения лучей света (190).
Решения
Глава 13. Выпуклые многогранники
§1. Определения выпуклости (201). §2. Разные задачи (202). §3. Признаки невписанности и неописанности (203). §4. Формула Эйлера (203). §5. Обходы многогранников (204). §6. Проекции многогранников (205). §7. Полярные многогранники (206). §8. Теорема Коши о жёсткости выпуклых многогранников (207).
Решения
Глава 14. Правильные многогранники
§1. Основные свойства (223). §2. Взаимосвязи (224). §3. Двойственные правильные многогранники (225). §4. Проекции и сечения (225). §5. Самосовмещения правильных многогранников (226). §6. Разные определения (227).
Решения
Глава 15. Геометрические неравенства
§1. Длины и периметры (240). §2. Углы (241). §3. Площади (212).
§4. Объёмы (243). §5. Разные задачи (244).
Решения
Глава 16. Задачи на максимум и минимум
§1. Отрезок с концами на скрещивающихся прямых (258). §2. Площадь и объём (258). §3. Расстояния и радиусы (259). §4. Разные задачи (259). Решения
Глава 17. Некоторые методы решения задач
§1. Правило крайнего (267). §2. Принцип Дирихле (268). §3. Выход в пространство (269).
Решения
Глава 18. Центр масс. Момент инерции. Барицентрические координаты
§1. Центр масс и его основные свойства (280). §2. Момент инерции
(282). §3. Барицентрические координаты (283).
Решения
Глава 19. Разные задачи 2
§1. Примеры и контрпримеры (292). §2. Целочисленные решётки (293). §3. Комбинаторика (294). §4. Системы точек и фигур (295). §5. Разрезания (295). §6. Раскраски (296).
Решения
Глава 20. Инверсия и стереографическая проекция
§1. Свойства инверсии (313). §2. Сделаем инверсию (314). §3. Наборы касающихся сфер (315). §4. Конус (316). §5. Стереографическая проекция (316).
Решения
Глава 21. Поверхности второго порядка (квадрики) 3
§1. Сечения конуса и цилиндра (327). §2. Прямой круговой конус (328). §3. Произвольный конус (328). §4. Эллипсоид (328). §5. Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид (329). §6. ГМТ (332). §7. Свойства квадрик (332). §8. Классификация квадрик (332).
Решения
Глава 22. Аффинные и проективные преобразования 3
§1. Аффинные преобразования (341). §2. Центральная проекция (342).
§3. Проективные преобразования (342).
Решения
Предметный указатель