Задачи по планиметрии. Прасолов В.В. 2006

Название: Задачи по планиметрии.
Автор: Прасолов В.В.
2006
   Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7-11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.
Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
   В этом сборнике задач представлены почти все темы планиметрии, которые изучаются в школе, в том числе и в специализированных классах. Его основу составляют задачи, предлагавшиеся в разное время на математических олимпиадах, и задачи из архивов математических олимпиад и математических кружков.
Для удобства читателя в книге принята подробная рубрикация. Задачи распределены по 30 главам, каждая из которых разбита на несколько параграфов (от 2 до 14). За основу классификации приняты методы решения задач. Главная цель этого разбиения состоит в том, чтобы помочь читателю ориентироваться в столь большом наборе задач. В новое издание включён подробный предметный указатель, который служит той же цели.
Первое издание этой книги вышло в свет 15 лет назад. Дошедшие до меня отзывы о ней свидетельствуют о том, что она нашла гораздо более широкое применение в школе, чем я надеялся, когда начинал её писать.
В новое издание включено дополнительно 70 задач, которые стали мне известны за последние годы. Изменены также решения нескольких задач. Задачи повышенной трудности в новом издании отмечены «звёздочкой». Добавлено также «Дополнение», в котором обсуждается несколько тем, более широких, чем отдельная задача.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Глава 1. Подобные треугольники 11
§ 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми (12).
§ 2. Отношение сторон подобных треугольников (13).
§ 3. Отношение площадей подобных треугольников (15).
§ 4. Вспомогательные равные треугольники (16).
§ 5. Треугольник, образованный основаниями высот (17).
§ 6. Подобные фигуры (18).
Задачи для самостоятельного решения (18).
Решения
Глава 2. Вписанный угол 30
§ 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31).
§ 2. Величина угла меж ду двумя хордами (32).
§ 3. Угол между касательной и хордой (33).
§ 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34).
§ 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (35).
§ 6. Вписанный угол и подобные треугольники (36).
§ 7. Биссектриса делит дугу пополам (37).
§ 8. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями (38).
§ 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (39).
§ 10. Точка Микеля (40).
§ 11. Разные задачи (40).
Задачи для самостоятельного решения (41).
Решения
Глава 3. Окружности 55
§ 1. Касательные к окружностям (56).
§ 2. Произведение длин отрезков хорд (57).
§ 3. Касающиеся окружности (58).
§ 4. Три окружности одного радиуса (59).
§ 5. Две касательные, проведённые из одной точки (59).
§ 6. Применение теоремы о высотах треугольника (60).
§ 7. Площади криволинейных фигур (61).
§ 8. Окружности, вписанные в сегмент (61).
§ 9. Разные задачи (62).
§ 10. Радикальная ось (63).
§ 11. Пучки окружностей (65).
Задачи для самостоятельного решения (66).
Решения
Глава 4. Площадь 81
§ 1. Медиана делит площадь пополам (81).
§ 2. Вычисление площадей (82).
§ 3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхугольник (83).
§ 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83).
§ 5. Разные задачи (84).
§ 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части (85).
§ 7. Формулы для площади четырёхугольника (86).
§ 8. Вспомогательная площадь (87).
§ 9. Перегруппировка площадей (88).
Задачи для самостоятельного решения (89).
Решения
Глава 5. Треугольники 101
§ 1. Вписанная и описанная окружности (102).
§ 2. Прямоугольные треугольники (103).
§ 3. Правильный треугольник (104).
§ 4. Треугольник с углом 60 или 120 (105).
§ 5. Целочисленные треугольники (106).
§ 6. Разные задачи (106).
§ 7. Теорема Менелая (109).
§ 8. Теорема Чевы (111).
§ 9. Прямая Симсона (113).
§ 10. Подерный треугольник (115).
§ 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (116).
§ 12. Точки Брокара (117).
§ 13. Точка Лемуана (119).
Задачи для самостоятельного решения (121).
Решения
Глава 6. Многоугольники 151
§ 1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151).
§ 2. Четырёхугольники (154).
§ 3. Теорема Птолемея (155).
§ 4. Пятиугольники (156).
§ 5. Шестиугольники (157).
§ 6. Правильные многоугольники (157).
§ 7. Вписанные и описанные многоугольники (160).
§ 8. Произвольные выпуклые многоугольники (161).
§ 9. Теорема Паскаля (161).
Задачи для самостоятельного решения (162).
Решения
Глава 7. Геометрические места точек 183
§ 1. ГМТ - прямая или отрезок (183).
§ 2. ГМТ - окружность или дуга окружности (184).
§ 3. Вписанный угол (185).
§ 4. Вспомогательные равные или подобные треугольники (186).
§ 5. Гомотетия (186).
§ 6. Метод ГМТ (186).
§ 7. ГМТ с ненулевой площадью (187).
§ 8. Теорема Карно (187).
§ 9. Окружность Ферма—Аполлония (188).
Задачи для самостоятельного решения (188).
Решения
Глава 8. Построения 197
§ 1. Метод геометрических мест точек (197).
§ 2. Вписанный угол (198).
§ 3. Подобные треугольники и гомотетия (198).
§ 4. Построение треугольников по различным элементам (198).
§ 5. Построение треугольников по различным точкам (199).
§ 6. Треугольник (199).
§ 7. Четырёхугольники (200).
§ 8. Окружности (201).
§ 9. Окружность Аполлония (201).
§ 10. Разные задачи (202).
§ 11. Необычные построения (202).
§ 12. Построения одной линейкой (202).
§ 13. Построения с помощью двусторонней линейки (203).
§ 14. Построения с помощью прямого угла (204).
Задачи для самостоятельного решения (205).
Решения
Глава 9. Геометрические неравенства 221
§ 1. Медиана треугольника (222).
§ 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника (222).
§ 3. Сумма длин диагоналей четырёхугольника (223).
§ 4. Разные задачи на неравенство треугольника (223).
§ 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (224).
§ 6. Неравенства для площадей (224).
§ 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (226).
§ 8. Ломаные внутри квадрата (227).
§ 9. Четырёхугольник (227).
§ 10. Многоугольники (228).
§ 11. Разные задачи (229).
Задачи для самостоятельного решения (230).
Приложение. Некоторые неравенства
Решения
Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 253
§ 1. Медианы (253).
§ 2. Высоты (253).
§ 3. Биссектрисы (254).
§ 4. Длины сторон (254).
§ 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей (254).
§ 6. Симметричные неравенства для углов треугольника (255).
§ 7. Неравенства для углов треугольника (255).
§ 8. Неравенства для площади треугольника (256).
§ 9. Против большей стороны лежит больший угол (256).
§ 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны (257).
§ 11. Неравенства для прямоугольных треугольников (257).
§ 12. Неравенства для остроугольных треугольников (258).
§ 13. Неравенства в треугольниках (258).
Задачи для самостоятельного решения (259).
Решения
Глава 11. Задачи на максимум и минимум 273
§ 1. Треугольник (273).
§ 2. Экстремальные точки треугольника (274).
§ 3. Угол (275).
§ 4. Четырёхугольники (276).
§ 5. Многоугольники (276).
§ 6. Разные задачи (277).
§ 7. Экстремальные свойства правильных многоугольников (277).
Задачи для самостоятельного решения (278).
Решения
Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 289
§ 1. Теорема синусов (289).
§ 2. Теорема косинусов (290).
§ 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (291).
§ 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы (291).
§ 5. Синусы и косинусы углов треугольника (292).
§ 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника (292).
§ 7. Вычисление углов (293).
§ 8. Окружности (294).
§ 9. Разные задачи (295).
§ 10. Метод координат (295).
Задачи для самостоятельного решения (296).
Решения
Глава 13. Векторы 308
§ 1. Векторы сторон многоугольников (309).
§ 2. Скалярное произведение. Соотношения (310).
§ 3. Неравенства (310).
§ 4. Суммы векторов (311).
§ 5. Вспомогательные проекции (312).
§ 6. Метод усреднения (312).
§ 7. Псевдоскалярное произведение (313).
Задачи для самостоятельного решения (314).
Решения
Глава 14. Центр масс 325
§ 1. Основные свойства центра масс (325).
§ 2. Теорема о группировке масс (326).
§ 3. Момент инерции (327).
§ 4. Разные задачи (328).
§ 5. Барицентрические координаты (328).
§ 6. Трилинейные координаты (331).
Решения
Глава 15. Параллельный перенос 345
§ 1. Перенос помогает решить задачу (345).
§ 2. Построения и геометрические места точек (346).
Задачи для самостоятельного решения (347).
Решения
Глава 16. Центральная симметрия 353
§ 1. Симметрия помогает решить задачу (354).
§ 2. Свойства симметрии (354).
§ 3. Симметрия в задачах на построение (355).
Задачи для самостоятельного решения (356).
Решения
Глава 17. Осевая симметрия 361
§ 1. Симметрия помогает решить задачу (361).
§ 2. Построения (362).
§ 3. Неравенства и экстремумы (363).
§ 4. Композиции симметрий (363).
§ 5. Свойства симметрий и осей симметрии (364).
§ 6. Теорема Шаля (364).
Задачи для самостоятельного решения (365).
Решения
Глава 18. Поворот
§1. Поворот на 90? (374).
§2. Поворот на 60? (374).
§3. Повороты на произвольные углы (376).
§4. Композиции поворотов (377).
Задачи для самостоятельного решения (378).
Решения
Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
§1. Гомотетичные многоугольники (389).
§2. Гомотетичные окруж­ ности (389).
 §3. Построения и геометрические места точек (390).
§4. Композиции гомотетий (391).
§5. Поворотная гомотетия (391).
§6. Центр поворотной гомотетии (393).
§7. Композиции поворотных го­мотетий (394).
§8. Окружность подобия трёх фигур (394).
Задачи для самостоятельного решения (396).
Решения
Глава 20. Принцип крайнего
§1. Наименьший или наибольший угол (407).
§2. Наименьшее или наибольшее расстояние (408).
§3. Наименьшая или наибольшая площадь (408).
§4. Наибольший треугольник (409).
§5. Выпуклая оболочка и опорные прямые (409).
§6. Разные задачи (410).
Решения
Глава 21. Принцип Дирихле
§1. Конечное число точек, прямых и т.д. (419).
§2. Углы и дли­ны (420).
§3. Площадь (421).
Решения
Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
§1. Выпуклые многоугольники (430).
§2. Изопериметрическое неравен­ ство (431).
§3. Симметризация по Штейнеру (432).
§4. Сумма Минковского (433).
§5. Теорема Хелли (433).
§6. Невыпуклые многоугольни­ ки (434).
Решения
Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
§1. Чёт и нечёт (453).
§2. Делимость (454).
§3. Инварианты (454).
§4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке (455).
§5. Другие вспомогательные раскраски (456).
§6. Задачи о раскрасках (457).
Решения
Глава 24. Целочисленные решётки
§1. Многоугольники с вершинами в узлах решётки (469).
§2. Формула Пика (469).
§3. Разные задачи (470).
§4. Вокруг теоремы Минковского (470).
Решения
Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
§1. Равносоставленные фигуры (479).
§2. Разрезания на части, облада­ ющие специальными свойствами (480).
§3. Свойства частей, получен­ ных при разрезаниях (480).
§4. Разрезания на параллелограммы (481).
§5. Плоскость, разрезанная прямыми (481).
§6. Разные задачи на разрезания (482).
§7. Разбиение фигур на отрезки (483).
§8. Покры­ тия (483).
§9. Замощения костями домино и плитками (484).
§10. Рас­ положение фигур на плоскости (485).
Решения
Глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры 506
§1. Системы точек (506).
§2. Системы отрезков, прямых и окружно­ стей (507).
§3. Примеры и контрпримеры (507).
Решения
Глава 27. Индукцияикомбинаторика
§1. Индукция (513).
§2. Комбинаторика (514).
Решения
Глава 28. Инверсия
§1. Свойства инверсии (518).
§2. Построение окружностей (518).
§3. Построения одним циркулем (519).
§4. Сделаем инверсию (520).
§5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку (521).
§6. Цепочки окружностей (523).
Решения
Глава 29. Аффинные преобразования
§1. Аффинные преобразования (535).
§2. Решение задач при помощи аффинных преобразований (537).
§3. Комплексные числа (538).
§4. Эллипсы Штейнера (542).
Решения
Глава 30. Проективные преобразования
§1. Проективные преобразования прямой (559).
§2. Проективные преобразования плоскости (561).
§3. Переведём данную прямую на бесконечность (564).
§4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность (565).
§5. Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство (567).
§6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение (567).
§7. Невозможность построений при помощи одной линейки (568).
Решения
Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
§1. Классификация кривых второго порядка (583).
§2. Эллипс (584).
§3. Парабола (586).
§4. Гипербола (587).
§5. Пучки коник (589).
§6. Коники как геометрические места точек (590).
§7. Рациональная параметризация (591).
§8. Коники, связанные с треугольником (591).
Решения
Дополнение
Предметный указатель
Программы элективных курсов по геометрии 632