Задачи по алгебре, арифметике и анализу. Прасолов В.В. 2007

Название: Задачи по алгебре, арифметике и анализу.
Автор: Прасолов В.В.
2007
   В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
   Книга состоит из 39 глав и «Дополнения», которое содержит очерки, посвященные избранным темам алгебры, арифметики и анализа. В конце книги приведён предметный указатель. Структура книги во многом схожа со структурой моей книги «Задачи по планиметрии», в четвёртом издании которой тоже появились «Дополнение» и предметный указатель.
Книга предназначена для школьников, обучающихся в классах с углублённым изучением математики, и для преподавателей математики. В ней представлены практически все темы алгебры, арифметики и анализа, которые сейчас изучаются в математических классах. Некоторая часть изложенного материала выходит за рамки школьной программы, но не за рамки программ математических классов. В основном это те темы, которые традиционно вызывают большой интерес у школьников: свойства простых чисел, решение уравнений в целых числах, задачи о взвешивании монет, решение кубических уравнений, невозможность трисекции угла.
Для удобства читателя в книге принята подробная рубрикация. Задачи распределены по 39 главам, каждая из которых разбита на несколько параграфов. За основу классификации приняты методы решения задач, хотя по необходимости существенную роль играют и внешние признаки (уравнения, неравенства, многочлены, тригонометрические функции и т. п.).
Содержание
Предисловие
Глава 1. Квадратный трехчлен
1.1. Наименьшее значение квадратного трехчлена
1.2. Дискриминант
1.3. Разные задачи
1.4. Теорема о промежуточном значении
1.5. Уравнение касательной к конике
1.6. Результант
Решения
Глава 2. Уравнения
2.1. Замена переменных
2.2. Угадывание корней
2.3. Уравнения с радикалами
2.4. Разные уравнения
Решения
Глава 3. Системы уравнений
3.1. Нахождение всех решений
3.2. Нахождение вещественных решений
3.3. Положительные решения
3.4. Количество решений системы уравнений
3.5. Линейные системы уравнений
Решения
Глава 4. Делимость
4.1. Чёт и нечёт
4.2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
4.3. Разложение на простые множители
4.4. Признаки делимости
4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
4.6. Делимость нацело
4.7. Делимость на степень простого числа
4.8. Остатки от деления
4.9. Взаимно простые числа
4.10. Простые числа
4.11. Арифметика остатков
Решения
Глава 5. Тождества
5.1. Разложение на множители
5.2. Доказательство тождеств
5.3. Суммы квадратов
5.4. Вспомогательные тождества
5.5. Разложение рациональных функций
5.6. Разложение квадратичных функций
5.7. Тождества с целыми частями
Решения
Глава 6. Рациональные и иррациональные числа
6.1. Сравнений чисел
6.2. Иррациональности в знаменателях
6.3. Тождества с радикалами
6.4. Доказательства иррациональности и рациональности
6.5. Сопряжённые числа
6.6. Последовательность Фарея
6.7. Задачи с целыми частями
Решения
Глава 7. Текстовые задачи
7.1. Решения без вычислений
7.2. Вычисления
7.3. Неравенства
7.4. Целочисленные приближения
7.5. Соответствия
Решения
Глава 8. Неравенства
8.1. Неравенство x+1/x ? 2
8.2. Неравенство треугольника
8.3. Неравенство Коши
8.4. Монотонность
8.5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
8.6. Неравенства, имеющие геометрическую интерпретацию
8.7. Циклические неравенства
8.8. Разные неравенства
8.9. Выпуклость
8.10. Неравенства Гёльдера и Минковского
Решения
Глава 9. Вычисление сумм и произведений
9.1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
9.2. Изменение порядка суммирования
9.3. Суммы Sk(n)=1k+2k+...+nk
9.4. Разбиение на пары
9.5. Вычисление одной суммы двумы способами
Решения
Глава 10. Многочлены I
10.1. Выделение полного квадрата
10.2. Корни многочленов
10.3. Коэффициенты многочлена
10.4. Теорема Виета
10.5. Делимость
10.6. Неравенства для корней
10.7. Количество вещественных корней многочлена
10.8. Разные задачи
10.9. Интерполяционные многочлены
10.10. Рациональные функции
10.11. Целозначные многочлены
10.12. Многочлены от нескольких переменных
Решения
Глава 11. Тригонометрия
11.1. Неравенства и сравнение чисел
11.2. Тригонометрические тождества
11.3. Уравнения
11.4. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками
11.5. Вычисление сумм и произведений
11.6. Выражения для cos n? и т.п.
11.7. Вспомогательные тригонометрические функции
11.8. Тригонометрические многочлены
Решения
Глава 12. Уравнения в целых числах
12.1. Пифагоровы тройки
12.2. Нахождение всех решений
12.3. Нахождение некоторых решений
12.4. Доказательство конечности числа решений
12.5. Уравнений Пелля
12.6. Уравнение Маркова
Решения
Глава 13. Индукция
13.1. Вычисление сумм
13.2. Неравенства
13.3. Доказательство тождеств
13.4. Разные задачи
Решения
Глава 14. Комбинаторика
14.1. Элементы комбинаторики
14.2. Тождества для биномиальных коэффициентов
14.3. Формулы с биномиальными коэффициентами
14.4. Бином Ньютона в арифметике
14.5. Комбинаторика в арифметике
14.6. Неравенства для биномиальных коэффициентов
14.7. Арифметика биномиальных коэффициентов
14.8. Формула включений и исключений
14.9. Аналоги биномиальных коэффициентов
14.10. Числа Каталана
14.11. Элементы теории вероятностей
Решения
Глава 15. Рекуррентные последовательности
15.1. Общие свойства
15.2. Числа Фибоначчи
15.3. Числа Фибоначчи и алгоритм Евклида
15.4. Числа Фибоначчи в комбинаторике
15.5. Специальные рекуррентные последовательности
Решения
Глава 16. Примеры и конструкции
16.1. Наборы чисел
16.2. Бесконечные последовательности
16.3. Последовательности операций
16.4. Многочлены и рациональные функции
16.5. Разные примеры и конструкции
Решения
Глава 17. Принцип Дирихле. Правило крайнего
17.1. Остатки от деления
17.2. Последовательности
17.3. Разные задачи
17.4. Приближения иррациональных чисел рациональными
17.5. Правило крайнего
Решения
Глава 18. Инварианты и полуинварианты
18.1. Остатки от деления
18.2. Полуинварианты
18.3. Чётность перестановки
Решения
Глава 19. Логика
19.1. Логические задачи
19.2. Логические парадоксы
19.3. Логика высказываний
Решения
Глава 20. Стратегии. Турниры. Таблицы
20.1. Выбор стратегии
20.2. Переливания
20.3. Турниры
20.4. Взвешивания
20.5. Таблицы
Решения
Глава 21. Системы счисления
21.1. Последние цифры
21.2. Первые цифры
21.3. Другие цифры
21.4. Сумма цифр
21.5. Разные задачи о десятичной записи
21.6. Репьюниты и периоды десятичных дробей
21.7. Определение d-ичной записи числа
21.8. Двоичная система
21.9. Другие системы счисления
21.10. Другие представления чисел
Решения
Глава 22. Графы
22.1. Обходы графов
22.2. Ориентированные графы
22.3. Паросочетания
Решения
Глава 23. Комплексные числа
23.1. Тождества и неравенства для комплексных чисел
23.2. Формула Муавра
23.3. Корни из единицы
23.4. Корни многочленов
Решения
Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах
24.1. Решение кубических уравнений
24.2. Дискриминант кубического многочлена
24.3. Решение уравнений 4-й степени
24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах
Решения
Глава 25. Предел последовательности
25.1. Свойства пределов
25.2. Теорема Вейерштрасса
25.3. Вычисление пределов
25.4. Число е
25.5. Сопряжённые числа
25.6. Точная верхняя грань
Решения
Глава 26. Непрерывные и разрывные функции
26.1. Монотонные функции
26.2. Периодические функции
26.3. Предел функции
26.4. Непрерывность
26.5. Теорема о промежуточных значениях
26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
26.7. Выпуклые функции
26.8. Равномерная непрерывность
26.9. Функции ограниченной вариации
Решения
Глава 27. Логарифм и показательная функция
27.1. Определение показательной функции и логарифма
27.2. Показательная функция
27.3. Тождества для логарифмов
27.4. Неравенства и сравнения чисел
27.5. Иррациональность логарифмов
27.6. Некоторые замечательные пределы
27.7. Гиперболические функции
Решения
Глава 28. Производная
28.1. Определение производной
28.2. Производные элементарных функций
28.3. Кратный корень многочлена
28.4. Производная многочлена
28.5. Тождества
28.6. Касательная и нормаль
28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке
28.8. Неравенства
28.9. Правило Лопиталя
28.10. Количество корней уравнения
28.11. Периодические функции
28.12. Нормированные симметрические функции
28.13. Алгебраические и трансцендентные функции
28.14. Формула Тейлора
Решения
Глава 29. Интеграл
29.1. Неопределенный интеграл
29.2. Определенный интеграл
29.3. Вычисление интегралов
29.4. Вычисление площадей
29.5. Вычисление объемов
29.6. Длина кривой
29.7. Площадь поверхности
29.8. Неравенства
29.9. Вычисление пределов
29.10. Тождества
29.11. Примеры и конструкции
29.12. Несобственные интегралы
Решения
Глава 30. Ряды
30.1. Вычисление бесконечных сумм
30.2. Вычисление бесконечных произведений
30.3. Гармонический ряд
30.4. Ряд для логарифма
30.5. Ряды для числа ?
30.6. Экспонента в комплексной области
30.7. Доказательства неравенств
30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды
30.9. Сходимость бесконечных произведений
Решения
Глава 31. Элементы теории чисел
31.1. Малая теорема Ферма
31.2. Псевдопростые числа
31.3. Функция Эйлера
31.4. Теорема Вильсона
31.5. Задачи о сравнениях
31.6. Функция ?k(n). Делители
31.7. Квадратичные вычеты
31.8. Квадратичный закон взаимности
31.9. Гауссовы суммы
31.10. Суммы двух квадратов
31.11. Суммы четырех квадратов
31.12. Первообразные корни по простому модулю
31.13. Первообразные корни по составному модулю
31.14. Теорема Чебышёва о простых числах
Решения
Глава 32. Многочлены
32.1. Разделение корней
32.2. Неприводимые многочлены
32.3. Симметрические многочлены
32.4. Многочлены Чебышёва
32.5. Алгебраические и трансцендентные числа
32.6. Присоединение корня многочлена
Решения
Глава 33. Алгоритмы и вычисления
33.1. Вычисления некоторых чисел
33.2. Арифметические операции. Многочлены
33.3. Сортировка
33.4. Криптография с открытым ключом
Решения
Глава 34. Функциональные уравнения
34.1. Метод подстановки
34.2. Функциональные уравнения для многочленов
34.3. Функциональные уравнения для производящих функций
34.4. Функциональные уравнения для непрерывных функций
34.5. Функциональные уравнения для диффернцируемых функций
Решения
Глава 35. Цепные дроби
35.1. Определение и основные свойства
35.2. Наилучшие приближения
35.3. Цепные дроби и уравнения Пелля
Решения
Глава 36. Формальные ряды и производящие функции
36.1. Формальные ряды
36.2. Формальная производная
36.3. Корень из формального ряда
36.4. Экспонента и логарифм
36.5. Тождества для формальных рядов
36.6. Производящие функции
36.7. Числа и многочлены Бернулли
36.8. Число разбиений
36.9. Формулы Варинга
Решения
Глава 37. Исчисление конечных разностей
37.1. Свойства конечных разностей
37.2. Обобщённая степень
37.3. Формула суммирования Эйлера
Решения
Глава 38. Кривые на плоскости
38.1. Полярные координаты
38.2. Огибающая семейства кривых
38.3. Кривизна
38.4. Соприкасающаяся окружность
38.5. Фокальные точки. Эволюта
Решения
Глава 39. Теория множеств
39.1. Конечные множества
39.2. Операции над множествами
39.3. Равномощные множества
39.4. Счётные множества
39.5. Мощность континуума
39.6. Свойства мощности
39.7. Парадоксы теории множеств
Решения
Дополнение
Указатель имен
Предметный указатель