Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов, Демидович Б.П., 1968

Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов, Демидович Б.П., 1968.
   В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому анализу применительно к максимальной программе общего курса высшей математики высших технических учебных заведений. Сборник содержит свыше 3000 задач, систематически расположенных в главах (I—X), и охватывает все разделы втузовского курса высшей математики (за исключением аналитической геометрии). Особое внимание обращено на важнейшие разделы курса, требующие прочных навыков (нахождение пределов, техника дифференцирования, построение графиков функций, техника интегрировании, приложения определенных интегралов, ряды, решение дифференциальных уравнений).

Примеры.
Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой температурой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный момент?
Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части AM растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от конца А и равна 10 г при AM = 2 см. Найти массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке М. Чему равна линейная плотность стержня в точках А и В?
Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая (в смысле площади) форма площадки, если имеется l погонных метров сетки?
Из квадратного листа картона со стороной а требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.
Оглавление
Из предисловия к первому изданию [7]
Предисловие к четвертому изданию [8]
Предисловие к пятому изданию [8]
Глава I. Введение в анализ [9]
§1. Понятие функции [9]
§2. Графики элементарных функций [14]
§3. Пределы [20]
§4. Бесконечно малые и бесконечно большие [31]
§5. Непрерывность функций [34]
Глава II. Дифференцирование функций [40]
§1. Непосредственное вычисление производных [40]
§2. Табличное дифференцирование [44]
§3. Производные функций, не являющихся явно заданными [54]
§4. Геометрические и механические приложения производной [58]
§5. Производные высших порядков [64]
§6. Дифференциалы первого и высших порядков [68]
§7. Теоремы о среднем [72]
§8. Формула Тейлора [73]
§9. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопределенностей [75]
Глава III. Экстремумы функции и геометрические приложения производной [79]
§1. Экстремумы функции одного аргумента [79]
§2. Направление вогнутости. Точки перегиба [87]
§3. Асимптоты [89]
§4. Построение графиков функций по характерным точкам [91]
§5. Дифференциал дуги. Кривизна [97]
Глава IV. Неопределенный интеграл [102]
§1. Непосредственное интегрирование [102]
§2. Метод подстановки [108]
§3. Интегрирование по частям [111]
§4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен [113]
§5. Интегрирование рациональных функций [116]
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций [120]
§7. Интегрирование тригонометрических функций [123]
§8. Интегрирование гиперболических функций [128]
§9. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок для нахождения интегралов вида SR(x,Vax2+bx+c)dx, где R — рациональная функция [129]
§10. Интегрирование различных трансцендентных функций [130]
§11. Применение формул приведения [131]
§12. Интегрирование разных функций [131]
Глава V. Определенный интеграл [133]
§1. Определенный интеграл как предел суммы [133]
§2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных [135]
§3. Несобственные интегралы [138]
§4. Замена переменной в определенном интеграле [141]
§5. Интегрирование по частям [144]
§6. Теорема о среднем значении [145]
§7. Площади плоских фигур [147]
§8. Длина дуги кривой [153]
§9. Объемы тел [155]
§10. Площадь поверхности вращения [160]
§11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена [162]
§12. Приложения определенных интегралов к решению физических задач [166]
Глава VI. Функции нескольких переменных [172]
§1. Основные понятия [172]
§2. Непрерывность [175]
§3. Частные производные [177]
§4. Полный дифференциал функции [179]
§5. Дифференцирование сложных функций [182]
§6. Производная в данном направлении и градиент функции [185]
§7. Производные и дифференциалы высших порядков [188]
§8. Интегрирование полных дифференциалов [193]
§9. Дифференцирование неявных функций [195]
§10. Замена переменных [202]
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности [207]
§12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных [210]
§13. Экстремум функции нескольких переменных [212]
§14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций [216]
§15. Особые точки плоских кривых [219]
§16. Огибающая [221]
§17. Длина дуги пространственной кривой [222]
§18. Вектор-функции скалярного аргумента [223]
§19. Естественный трехгранник пространственной кривой [226]
§20. Кривизна и кручение пространственной кривой [230]
Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы [233]
§1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах [233]
§2. Замена переменных в двойном интеграле [239]
§3. Вычисление площадей фигур [242]
§4. Вычисление объемов тел [244]
§5. Вычисление площадей поверхностей [246]
§6. Приложения двойного интеграла к механике [247]
§7. Тройные интегралы [248]
§8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобственные кратные интегралы [255]
§9. Криволинейные интегралы [259]
§10. Поверхностные интегралы [269]
§11. Формула Остроградского — Гаусса [271]
§12. Элементы теории поля [273]
Глава VIII. Ряды [277]
§1. Числовые ряды [277]
§2. Функциональные ряды [288]
§3. Ряд Тейлора [295]
§4. Ряды Фурье [301]
Глава IX. Дифференциальные уравнения [306]
§1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений семейств кривых. Начальные условия [306]
§2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка [308]
§3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории [310]
§4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка [314]
§5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли [315]
§6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель [318]
§7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной [320]
§8. Уравнения Лагранжа и Клеро [322]
§9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка [324]
§10. Дифференциальные уравнения высших порядков [329]
§11. Линейные дифференциальные уравнения [332]
§12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами [334]
§13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го [340]
§14. Уравнения Эйлера [341]
§15. Системы дифференциальных уравнений [342]
§16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов [344]
§17. Задачи на метод Фурье [346]
Глава X. Приближенные вычисления [350]
§1. Действия с приближенными числами [350]
§2. Интерполирование функций [355]
§3. Вычисление действительных корней уравнений [359]
§4. Численное интегрирование функций [365]
§5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений [368]
§6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье [376]
Ответы [378]
Приложения [460]
I. Греческий алфавит [460]
II. Некоторые постоянные [460]
III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы [461]
IV. Тригонометрические функции [463]
V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции [464]
VI. Некоторые кривые [465].