Задачи и теоремы из анализа - Часть 1 - Ряды, интегральное исчисление, теория функций - Полиа Г., Сеге Г.

Название: Задачи и теоремы из анализа - Часть 1 - Ряды, интегральное исчисление, теория функций. 1978.
Автор: Полиа Г., Сеге Г.
   Книга Г. Полиа и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа», впервые вышедшая на немецком языке в 1925 г. и в русском переводе в 1937 - 1938 гг., давно уже стала настольной книгой математиков, работающих или только желающих овладеть навыками научной работы в области теории функций.
   Книга неоднократно переиздавалась и была переведена также на английский язык. В 1956 г. вышло второе русское издание. Для настоящего третьего издания перевод заново отредактирован и сверен с третьим немецким изданием.
   В математической литературе (во французской еще больше, чем в немецкой) имеется много, частью прекрасных и богатых по материалу сборников задач, упражнений, повторительных курсов и т. п. Как нам кажется, настоящая книга от них всех отличается своей целью, материалом, его расположением, а также методом работы над ней, как мы его мыслим. Все эти моменты нуждаются поэтому в пояснении.


Содержание
От издательства.
Предисловие.
Обозначения и сокращения.
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Глава 1.
Вычисления со степенными рядами.
§ 1 (1-31). Задачи из аддитивной теории чисел. Вопрос и ответ.
§ 2 (32-43). Биномиальные коэффициенты и прочее. Вопрос и ответ.
§ 3 (44-49). Дифференцирование степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 4 (50-60). Определение, коэффициентов при помощи функциональных уравнений. Вопрос и ответ.
§ 5 (61-64). Мажорантные ряды. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Преобразования рядов. Теорема Чезаро.
§ 1 (65-78). Преобразование последовательностей в последовательности в случае, когда в каждой строке схемы имеется только конечное число элементов, отличных от нуля. Вопрос и ответ.
§ 2 (79-82). Преобразование последовательностей в последовательности (общий случай). Вопрос и ответ.
§ 3 (83-97). Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Структура вещественных последовательностей и рядов.
§ 1 (98-112). Структура бесконечных последовательностей. Вопрос и ответ.
§ 2 (113-116). Показатель сходимости. Вопрос и ответ.
§ 3 (117-123). Максимальный член степенного ряда. Вопрос и ответ.
§ 4 (124-132). Части рядов. Вопрос и ответ.
§ 5 (133-137). Перестановки членов вещественного ряда. Вопрос и ответ.
§ 6 (138-139). Распределение знаков членов ряда. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Смешанные задачи.
§ 1 (140-155). Обвертывающие ряды. Вопрос и ответ.
§2 (156-185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Глава 1.
Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников.
§ 1 (1-7). Нижние и верхние суммы. Вопрос и ответ.
§ 2 (8-19). Степень приближения. Вопрос и ответ.
§ 3 (20-29). Несобственные, интегралы в конечных пределах. Вопрос и ответ.
§ 4 (30-40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах. Вопрос и ответ.
§ 5 (41-47). Теоретико-числовые применения. Вопрос и ответ.
§ 6 (48-59). Средние значения. Произведения. Вопрос и ответ.
§ 7 (60-68). Кратные интегралы. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Неравенства.
§ 1 (69-97). Неравенства. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Из теории функций действительного переменного.
§ 1 (98-111). Интегрируемость в собственном смысле. Вопрос и ответ.
§ 2 (112-118). Несобственные интегралы. Вопрос и ответ.
§ 3 (119-127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые функции. Вопрос и ответ.
§ 4 (128-146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Различные типы равномерного распределения.
§ 1 (147-161). Числовая функция. Регулярные последовательности. Вопрос и ответ.
§ 2 (162-165). Критерии равномерного распределения. Вопрос и ответ.
§ 3 (166-173). Распределение кратных иррационального числа. Вопрос и ответ.
§ 4 (174-184). Распределение цифр в таблице логарифмов и аналогичные задачи. Вопрос и ответ.
§ 5 (185-194). Другие типы равномерного распределения. Вопрос и ответ.
Глава 5.
Функции больших чисел.
§ 1 (195-209). Метод Лапласа. Вопрос и ответ.
§ 2 (210-217). Модификации метода Лапласа. Вопрос и ответ.
§ 3 (218-222). Асимптотическое вычисление некоторых максимумов. Вопрос и ответ.
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЩАЯ. ЧАСТЬ.
Глава 1.
Комплексные числа и последовательности.
§ 1 (1-15). Области и кривые. Вычисления с комплексными числами. Вопрос и ответ.
§ 2 (16-27). Расположение корней алгебраических уравнений. Вопрос и ответ.
§ 3 (28-35). Продолжение: теорема Гаусса. Вопрос и ответ.
§ 4 (36-43). Комплексные числовые последовательности. Вопрос и ответ.
§ 5 (44-50). Продолжение: преобразования рядов. Вопрос и ответ.
§ 6 (51 -54). Изменение порядка членов в комплексных рядах. Вопрос и ответ.
Глава 2.
Отображения и векторные поля.
§1 (55-59). Дифференциальные уравнения Коши-Римана. Вопрос и ответ.
§ 2 (60-84). Специальные элементарные отображения. Вопрос и ответ.
§ 3 (85-102). Векторные поля. Вопрос и ответ.
Глава 3.
Геометрическое поведение функции.
§ 1 (103-116). Отображение окружности Кривизна и опорные функции. Вопрос и ответ.
§ 2 (117-123). Средние значения вдоль окружности. Вопрос и ответ.
§ 3 (124-129). Отображение круга. Площадь области, получаемой при отображении. Вопрос и ответ.
§ 4 (130-144). Поверхность модуля. Принцип максимума. Вопрос и ответ.
Глава 4.
Интеграл Коши. Принцип аргумента.
§ 1 (145-171). Интеграл Коши. Вопрос и ответ.
§ 2 (172-178). Формулы Пуассона и Иенсена. Вопрос и ответ.
§ 3 (179-193). Принцип аргумента. Вопрос и ответ.
§ 4 (194-206). Теорема Рушэ. Вопрос и ответ.
Глава 5.
Последовательности аналитических функций.
§ 1 (207-229). Ряд Лагранжа и его применения. Вопрос и ответ.
§ 2 (230-240). Вещественная часть степенного ряда. Вопрос и ответ.
§ 3 (241-247). Полюсы на границе круга сходимости. Вопрос и ответ.
§ 4 (248-250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 5 (251-258). Распространение сходимости. Вопрос и ответ.
§ 6 (259-262). Сходимость в разделенных областях. Вопрос и ответ.
§ 7 (263-265). Порядок возрастания последовательностей полиномов. Вопрос и ответ.
Глава 6.
Принцип максимума.
§ 1 (266-279). Различные формулировки принципа максимума. Вопрос и ответ.
§ 2 (280-298). Лемма Шварца. Вопрос и ответ.
§ 3 (299-310). Теорема Адамара о трех кругах. Вопрос и ответ.
§ 4 (311-321). Гармонические функции. Вопрос и ответ.
§ 5 (322-340). Метод Фрагмена и Линделёфа. Вопрос и ответ.
Предметный указатель.