Высшие трансцендентные функции, Часть 3, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967

Высшие трансцендентные функции, Часть 3, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967.
   Эта книга является переводом завершающего третьего тома трехтомной монографии по теории специальных функций. Она содержит теорию эллиптических функций (которая в американском издании входила в состав второго тома), теорию автоморфных функций, а также теорию функций Ламе и Матье. Кроме того, подробно изложена теория сфероидальных и эллипсоидальных
функций, даны сведения о функциях теории чисел. Весьма подробно изложена теория производящих функций. Таблиц 13, иллюстраций 15, библ. 531 назв.
Настоящая книга, как и две предыдущие, явится настольной для физиков-теоретиков и экспериментаторов, инженеров-исследователей, математиков-прикладников и др.
   Эллиптические интегралы встречаются впервые у Джона Валлиса в 1655-1659 гг. Они были известны Эйлеру, который в 1753 г. получил для них теорему сложения. Лежандр, чья работа над эллиптическими интегралами продолжалась многие десятилетия, ввел нормальные формы этих интегралов, которые применяются и в настоящее время. Якоби в 1828 г. ввел эллиптические функции, получив их путем обращения (неопределенных) эллиптических интегралов; кроме того, он систематически изучил тета-функции. Абель получил независимо от Якоби некоторые из его результатов. Он также изучил интегралы, называемые сейчас гиперэллиптическими или абелевыми. Вейерштрасс показал, что теория эллиптических функций может быть основана на теории функций комплексного переменного, и построил общую теорию двояко-периодических функций.
История эллиптических функций изложена в статье Р. Фрике (R. Fricke) в Encyklopadie (1913). Эта статья содержит список литературы вплоть до 1913 г. Наиболее важные книги об эллиптических функциях, появившиеся позже 1913 г., указаны в конце этой главы. Относительно более старой литературы отсылаем читателя к упомянутой статье Фрике.
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 13
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
13.1. Введение 9
Часть первая. Эллиптические интегралы
13.2. Эллиптические интегралы 9
13.3. Приведение эллиптических интегралов 11
13.4. Периоды и особенности эллиптических интегралов 14
13.5. Приведение G(x) к нормальной форме 16
13.6. Вычисление эллиптических интегралов Лежандра 22
13.7. Некоторые дальнейшие свойства нормальных эллиптических интегралов Лежандра 23
13.8. Полные эллиптические интегралы 26
Часть вторая. Эллиптические функции
13.9. Обращение эллиптических интегралов 29
13.10. Двояко-периодические функции 30
13.11. Общие свойства эллиптических функций 32
13.12. Функции Вейерштрасса 34
13.13. Дальнейшие свойства функций Вейерштрасса 36
13.14. Выражение эллиптических функций и эллиптических интегралов через функции Вейерштрасса 39
13.15. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи функций Вейерштрасса 42
13.16. Эллиптические функции Якоби 43
13.17. Дальнейшие свойства эллиптических функций Якоби 46
13.18. Дескриптивные свойства и вырожденные случаи эллиптических функций Якоби 50
13.19. Тета-функции 53
13.20. Выражение эллиптических функций и эллиптических интегралов через тета-функции. Проблема обращения 57
13.21. Теория преобразования эллиптических функций 61
13.22. Унимодулярные преобразования 62
13.23. Преобразования второго порядка 65
13.24. Эллиптические модулярные функции 67
13.25. Конформные отображения 68
Глава 14
АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
14.1. Разрывные группы и дробно-линейные преобразования 73
14.1.1. Дробно-линейные преобразования 73
14.1.2. Неподвижные точки. Классификация преобразований 75
14.1.3. Разрывные группы 76
14.1.4. Фундаментальная область 76
14.2. Определение автоморфных функций 78
14.3. Группа икосаэдра 79
14.4. Параболические преобразования 81
14.5. Бесконечная циклическая группа с двумя неподвижными точками 83
14.6. Эллиптические модулярные функции 84
14.6.1. Модулярная группа 84
14.6.2. Модулярная функция J(z) 85
14.6.3. Подгруппы модулярной группы 88
14.6.4. Модулярные уравнения 90
14.6.5. Приложения к теории чисел 91
14.7. Общая теория автоморфных функций 91
14.7.1. Классификация групп 91
14.7.2. Общие теоремы об автоморфных функциях 92
14.8. Существование и конструкция автоморфных функций 93
14.8.1. Общие замечания 93
14.8.2. Римановы поверхности 94
14.8.3. Автоморфные формы. Тета-ряды Пуанкаре 94
14.9. Униформизация 96
14.10. Некоторые частные виды автоморфных функций 97
14.10.1. Функции треугольника Римана–Шварца 97
14.10.2. Автоморфные функции Бернсайда 98
14.11. Модулярные группы Гильберта 98
14.12. Функции Зигеля 99
Глава 15
ФУНКЦИИ ЛАМЕ
15.1. Введение 103
15.1.1. Координаты, связанные с конфокальными областями второго порядка 103
15.1.2. Координаты конфокальных конусов 106
15.1.3. Координаты конфокальных циклид вращения 107
15.2. Уравнение Ламе 111
15.3. Уравнение Гойна 112
15.4. Решения общего уравнения Ламе 116
15.5. Функции Ламе 117
15.5.1. Вещественные периоды функции Ламе 117
15.5.2. Функции Ламе с чисто мнимым периодом. Формулы преобразования 122
15.5.3. Интегральные уравнения для функций Ламе 124
15.5.4. Вырожденные случаи 126
15.6. Функции Ламе–Вангерина 126
15.7. Эллипсоидальные и сферо-конические гармоники 130
15.8. Гармоники, связанные с циклидами вращения 133
Глава 16
ФУНКЦИИ МАТЬЕ, СФЕРОИДАЛЬНЫЕ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
16.1. Введение 136
16.1.1. Координаты эллиптического цилиндра 136
16.1.2. Координаты вытянутого эллипсоида вращения (вытянутого сфероида) 138
16.1.3. Координаты сжатого эллипсоида вращения (сжатого сфероида) 139
16.1.4. Эллипсоидальные координаты 140
Функции Матье
16.2. Общее уравнение Матье и его решение 141
16.3. Приближения, интегральные соотношения и интегральные уравнения для решений общего уравнения Матье 146
16.4. Периодические функции Матье 151
16.5. Разложения функций Матье и функций второго рода 155
16.6. Модифицированные функции Матье 158
16.7. Приближения и асимптотические формы 162
16.8. Ряды, интегралы, задачи разложения 165
Сфероидальные волновые функции
16.9. Дифференциальное уравнение для сфероидальных волновых функций и его решение 169
16.10. Дальнейшие разложения, приближения, интегральные соотношения 175
16.11. Сфероидальные волновые функции 179
16.12. Приближения и асимптотические формы для сфероидальных волновых функций 183
16.13. Ряды и интегралы, содержащие сфероидальные волновые функции 187
Эллипсоидальные волновые функции
16.14. Волновое уравнение Ламе 189
Глава 17
ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
17.1. Элементарные теоретико-числовые функции, порождаемые дзета-функцией Римана 194
17.1.1. Обозначения и определения 194
17.1.2. Явные выражения и производящие функции 196
17.1.3. Соотношения и свойства 197
17.2. Разбиения 200
17.2.1. Обозначения и определения 200
17.2.2. Разбиения и производящие функции 201
17.2.3. Свойства сравнений 203
17.2.4. Асимптотические формулы и родственные вопросы 204
17.3. Представления в виде суммы квадратов 204
17.3.1. Определения и обозначения 204
17.3.2. Формулы для rk(n) 206
17.4. Функция Рамануджана 207
17.5. Символ Лежандра–Якоби 209
17.6. Тригонометрические суммы и связанные с ними вопросы 210
17.7. Дзета-функция Римана и распределение простых чисел 211
17.8. Характеры и L-ряды 215
17.9. Дзета-функция Эпштейна 217
17.10. Целочисленные решетки 218
17.11. Тождества для функций Бесселя 219
Глава 18
РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
18.1. Функция Миттаг-Лефлера E?(z) и связанные с ней функции 221
18.2. Тригонометрические и гиперболические функции порядка n 226
18.3. Функция ?(x) и родственные функции 229
Глава 19
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Часть первая. Общий обзор
19.1. Введение 236
19.2. Типичные примеры применения производящих функций 237
19.3. Общие теоремы 242
19.4. Символические соотношения 246
19.5. Асимптотические представления 249
Часть вторая. Формулы
19.6. Рациональные и алгебраические функции. Степени с произвольными показателями 250
19.7. Показательные функции 253
19.8. Логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Другие элементарные функции и их интегралы 261
19.9. Функции Бесселя. Вырожденные гипергеометрические функции и их частные случаи (функции параболического цилиндра и др.) 264
19.10. Гамма-функция. Функции Лежандра и гипергеометрическая функция Гаусса. Обобщённые гипергеометрические функции 266
19.11. Производящие функции для многих переменных 269
19.12. Некоторые производящие функции, связанные с ортогональными многочленами 271
19.13. Производящие функции для некоторых непрерывных ортогональных систем 274
Цитированная литература 278
Именной указатель 291
Предметный указатель 293
Указатель важнейших обозначений