Высшая математика в примерах и задачах, 2 том, Черненко В.Д., 2003

Высшая математика в примерах и задачах, 2 том, Черненко В.Д., 2003.
Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал по рядам Фурье, двойным, тройным, криволинейным, поверхностным интегралам и их приложениям к задачам геометрии, механики и физики, векторному анализу, функциям комплексных переменных, операционному исчислению и методам интегрирования уравнений в частных производных, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава 13
РЯДЫ
13.1. Числовые ряды. Сходимость рада. Необходимый признак сходимости
13.2. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов
13.3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
13.4. Степенные ряды
13.5. Функциональные ряды
13.6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами
13.7. Алгебраические действия над рядами
13.8. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов
13.9. Разложение функций в степенные рады
13.10. Вычисление приближенных значений функций
13.11. Интегрирование функций
Глава 14
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
14.1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка
14.2. Уравнения с разделяющимися переменными
14.3. Однородные уравнения первого порядка
14.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
14.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
14.6. Уравнение Лагранжа и Клеро
14.7. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
14.8. Другие уравнения, разрешенные относительно производной
14.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижние порядка
14.10. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
14.11. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
14.12. Дифференциальные уравнения Эйлера
14.13. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
14.14. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
14.15. Системы дифференциальных уравнений
Глава 15
РЯДЫ ФУРЬЕ
15.1. Ряд Фурье для функции с периодом 2тг
15.2. Ряд Фурье для функции с периодом 2
15.3. Разложение только по косинусам или только по синусам
15.4. Сдвиг основного интервала
15.5. Интеграл Фурье
Глава 16
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
16.1. Двойной интеграл и его вычисление
16.2. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле
16.3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности
16.4. Вычисление объемов тел
16.5. Приложения двойного интеграла к механике
16.6. Тройной интеграл
16.7. Вычисление величин посредством тройного интеграла
16.8. Криволинейные интегралы
16.9. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
16.10. Вычисление геометрических и физических величин посредством криволинейных интегралов
16.11. Поверхностные интегралы
16.12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов
Глава 17
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
17.1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня
17.2. Производная в данном направлении. Градиент
17.3. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля
17.4. Дифференциальные операции 2-го порядка
17.5. Интегралы теории поля и теории потенциала
Глава 18
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
18.1. Комплексные числа
18.2. Функции комплексной переменной
18.3. Производная функции комплексного переменного
18.4. Интеграл от функции комплексной переменной
18.5. Ряды Тейлора и Лорана
18.6. Вычеты и их применение к вычислению интегралов
18.7. Конформное отображение
Глава 19
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
19.1. Преобразование Лапласа, основные свойства и нахождение изображений функций
19.2. Нахождение оригинала по изображению
19.3. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Глава 20
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
20.1. Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Уравнения первого порядка
20.2. Классификация у равнений второго порядка и приведение к каноническому виду
20.3. Метод Даламбера
20.4. Метод разделения переменных
20.5. Применение двойных и ординарных тригонометрических рядов к решению дифференциальных уравнений
20.6. Применение операционного исчисления к решению линейных уравнений в частных производных
20.7. Метод Бубнова - Галёркина
20.8. Метод последовательных приближений
ЛИТЕРАТУРА
14.6. Уравнение Лагранжа и Клеро
1°. Дифференциальное уравнение вида
                 у =х?(у^' )+?(у^') (1)
называется уравнением Лагранжа.
Если положить у ?= р и принять х за функцию, то после дифференцирования уравнение (1) сводится к линейному относительно X
               [(?(р)-р](dx/dp) + ?'(р)х + ??(р) = 0, (2)
где р - независимая переменная.
Интегрируя уравнение (2) и подставляя найденное значение х в уравнение (1), получим общее решение уравнения Лагранжа в параметрическом виде. Общее решение в обычном виде можно получить исключением параметра р. Кроме того, из условия ?(р)-р = 0, уравнение (1) может иметь особые и частные решения вида
                y = х?(р) + ?(р). (3)
2°. Если в уравнении Лагранжа ?(y^' )=y'то получим уравнение Клеро.
                    у = ху? +?(у?). (4)
Полагая у' = р и дифференцируя, находим, что р = С и x=-??(p).
Отсюда общее решение уравнения (4) имеет вид
                 у = Сх + ?(С), (5)
а особое решение получается исключением параметра p из уравнений
                у = рх+?(р); х = -??(р). (6)
Общее решение представляет собой семейство прямых, а особое является огибающей этого семейства.