Высшая математика в примерах и задачах, 1 том, Черненко В.Д., 2003

Высшая математика в примерах и задачах, 1 том, Черненко В.Д., 2003.
Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал по определителям и матрицам, системам линейных уравнений, векторной и линейной алгебре, аналитической геометрий на плоскости и в пространстве, функциям и вычислению, пределов, дифференциальному исчислению функций одной и нескольких переменных, приложениям дифференциального исчисления к геометрии, неопределенному и определенному интегралам и приложениям определенного интеграла к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1. Определители. Способы вычисления
1.2 Системы линейных уравнений. Правило Крамера
1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц
1.4. Транспонирование матрицы
1.5. Обратная матрица
1.6. Матричный метод решения системы линейных уравнений
1.7. Решение системы линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса)
1.8. Ранг матрицы
1.9. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами
2.2. Разложение вектора по координатным осям
2.3. Скалярное произведение
2.4. Векторное произведение
2.5. Смешанное произведение векторов
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени
3.4. Задачи на прямую линию
3.5. Уравнение линии как геометрического места точек
3.6. Кривые второго порядка
3.7. Преобразование декартовых координат
3.8. Полярная система координат. Уравнения кривых
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Системы координат
4.2. Плоскость
4.3. Прямая линия
4.4. Прямая и плоскость
4.5. Поверхности второго порядка
4.6. Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве
4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
5.1. Линейные преобразования
5.2. Разложение векторов по базису. Арифметические векторы
5.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы
5.4. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
Глава 6
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6.1. Множества и операции над ними
6.2. Логическая символика
6.3. Понятие о функции
6.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей
6.5. Непрерывность и точки разрыва функции
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7.1. Вычисление производных
7.2. Производные функций, не являющихся явно заданными
7.3. Производные высших порядков
7.4. Дифференциал функции
7.5. Приложения производной к задачам геометрии и физики
7.6. Теоремы о среднем
7.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
7.8. Возрастание и убывание функций
7.9. Максимум и минимум функции
7.10. Наибольшее и наименьшее значение функции
7.11. Решение задач на максимум и минимум
7.12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
7.13. Асимптоты кривой
7.14. Исследование функции и построение графиков
7.15. Формула Тейлора и Маклорена
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Понятие о функции нескольких переменных. Область определения
8.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность
8.3. Частные производные первого порядка
8.4. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
8.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
8.6. Дифференцирование сложных функций
8.7. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
8.8. Замена переменных в дифференциальных выражениях
8.9. Экстремум функции
8.10. Наибольшие и наименьшие значения функций
8.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
9.1. Касательная и нормаль к плоской кривой
9.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
9.3. Кривизна плоской кривой
9.4. Особые точки плоских кривых
9.5. Касание кривых между собой
9.6. Производная вектор-функции
9.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой
9.8. Кривизна и кручение пространственной кривой
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры
10.2. Непосредственное интегрирование
10.3. Интегрирование методом замены переменной
10.4. Интегрирование по частям
10.5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
10.6. Интегрирование рациональных дробей
10.7. Интегралы от иррациональных функций
10.8. Интегрирование тригонометрических функций
10.9. Интегрирование гиперболических функций
10.10. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11.1. Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница
11.2. Замена переменной в определенном интеграле
11.3. Интегрирование по частям
11.4. Теоремы об оценке определенного интеграла
11.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела
11.6. Несобственные интегралы
Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
12.1. Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин
12.2. Площадь плоской фигуры
12.3. Объем тела
12.4. Длина дуги кривой
12.5. Площадь поверхности вращения
12.6. Вычисление статических моментов и моментов инерции
12.7. Координаты центра тяжести
12.8. Приложение определенного интеграла к задачам механики и физики
ЛИТЕРАТУРА
1.8. Ранг матрицы.
Если в матрице взять какие-либо к строк и столбцов и составить определитель из элементов, которые окажутся на их пересечении, то этот определитель называется минором k-го порядка данной матрицы.
Из строк и столбцов матрицы можно составить определители различных порядков, не превышающих наименьшего из чисел m или n.
Рангом матрицы называют наибольший из порядков определителей этой матрицы, отличных от нуля.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются эквивалентными. Эквивалентность матриц обозначается знаком - между ними. Элементарными преобразованиями называются такие преобразования, при которых миноры матрицы либо не меняют своей величины, либо, меняя величину, не обращаются в нуль. Элементарные преобразования матриц позволяют:
1. Переставлять местами между собой строки (столбцы).
2. Прибавлять к какой-либо строке (столбцу) другую строку (столбец), умноженную на любое число.
3. Умножать строку (столбец) на число, отличное от нуля.
4. Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних нулей.