Высшая математика, Шамолин М.В., 2008

Высшая математика, Шамолин М.В., 2008.
    Книга представляет собой изложение курса лекции механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова по различным разделам современной математики. Эти лекционные курсы читаются многими выдающимися профессорами, за что автор выражает им безмерную благодарность. Данный учебник содержит введение в такие разделы, как аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление, теория вероятностей, математическая статистика, оптимальное управление. Основная часть книги, а также приложение 1 рассчитаны на студентов, аспирантов ВУЗов, а также на всех интересующихся математикой. Приложение 2 рассчитано, в основном, на специалистов в области качественной теории дифференциальных уравнений и, в некотором смысле, требует дополнительных знаний.
Основной формулой интегрального исчисления функций одной переменной является формула Ньютона-Лейбница, которой посвящено достаточно места в данной главе. Становится естественным после этого объяснить, как вычислять площади и объемы различных фигур.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами или от неограниченных функций, их основные свойства изучаются в заключении главы. Обсуждаются признаки сходимости таких несобственных интегралов. Дается определение сингулярного интеграла.
Дифференциальному исчислению функций нескольких переменных посвящена глава пятая. Для этого сначала необходимо изучить многие геометрические и топологические понятия многомерного пространства R. После всего этого становится нетрудной задачей определить функции многих переменных, их непрерывность, дифференцируемость, доказать аналоги классических теорем.
Как показано, ключевым отличием функций одной переменной от функций многих переменных с точки зрения дифференцируемости является неэквивалентность их дифференцируемости наличию у них частных производных.
Содержание
Предисловие автора 13
Введение 15
I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 24
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение 24
2. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Определители второго и третьего порядка. Координатное выражение векторного и смешанного произведения 33
3. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой 39
4. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью 45
5. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка 49
6. Решение системы п линейных алгебраических уравнений методом Гаусса 67
7. Определители «-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными по правилу Крамера 70
8. Матрицы и действия с ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы 78
9. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису 83
10. Линейные операторы и действия с ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах 88
11. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы 91
12. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений 94
13. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен 98
14. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы 101
15. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама скалярного произведения. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве 110
16. Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Самосопряженные операторы. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора 115
17. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы 123
18. Понятие о тензорах 127
II. Введение в математический анализ 130
19. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Мощность множества 130
20. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики 134
21. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел 153
22. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности 158
23. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы 164
24. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций 171
25. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация 174
26. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции 176
27. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции 178
III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 184
28. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл 184
29. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правило нахождения производной и дифференциала 187
30. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически 193
31. Точки экстремума функции. Теорема Ферма 199
32. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение 201
33. Правило Лопиталя 204
34. Производные и дифференциалы высших порядков 211
35. Формула Тейлора с остаточным членом общего вида в формах Пеано, Лагранжа и Коши. Разложение некоторых основных элементарных функций по формуле Маклорена. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений 214
36. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия экстремума 219
37. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба 227
38. Асимптоты функции 234
39. Общая схема исследования функции и построения ее графика 236
40. Вектор-функция скалярного аргумента. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой, кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль 239
IV. Интегральное исчисление функций одной переменной 243
41. Первообразная. Неопределенный интеграл и его простейшие свойства 243
42. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле 249
43. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители 249
44. Разложение рациональных дробей на простейшие 252
45. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций 257
46. Определенный интеграл, его свойства 260
47. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов 266
48. Геометрические и механические приложения определенного интеграла 269
49. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов. Понятие сингулярных интегралов 273
V. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 285
50. Пространство R". Множества в R": открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах 285
51. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Производная по направлению. Градиент 289
52. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа) 299
53. Отображение множеств из пространства Rn в пространство Rm. Непрерывные и дифференцируемые отображения 306
54. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций 309
55. Функциональные определители. Условия независимости системы функций 316
56. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума 323
57. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 327
VI. Числовые и функциональные ряды 331
58. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Действия с рядами 331
59. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Неравенства Гельдера и Минковского 334
60. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов 345
61. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса 350
62. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование 353
63. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов 358
VII. Элементы гармонического анализа, интегралы, зависящие от параметра, и преобразование Фурье 368
64. Метрические пространства. Нормированные пространства. Бесконечномерные евклидовы пространства. Полнота пространства. Банаховы и гильбертовы пространства. Ортогональные и ортонормированные системы. Процесс ортогонализации 368
65. Ряды Фурье по ортогональным системам. Минимальное свойство частичных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость системы 373
66. Тригонометрические ряды Фурье 377
67. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру 384
68. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 387
69. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Формула обращения. Элементарные свойства преобразования Фурье 391
VIII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 397
70. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Понятие n-кратного интеграла 397
71. Замена переменной в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и сферические координаты 403
72. Криволинейные интегралы. Их свойства и вычисление 411
73. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы. Их свойства и вычисление 415
74. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов 425
IX. Элементы теории поля 427
75. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Поток поля через поверхность 427
76. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл 429
77. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его физический смысл 432
78. Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности 435
79. Соленоидальное поле, его свойства. Условие солено и дальности. Векторный потенциал 438
X. Обыкновенные дифференциальные уравнения 440
80. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах 440
81. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений 447
82. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Фундаментальная система решений 450
83. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида 457
84. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши 462
85. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 466
XI. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений 470
86. Автономные и неавтономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория и скорость 470
87. Точки покоя. Линеаризация в окрестности точки покоя 474
88. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 485
89. Понятие о функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости 488
90. Понятие первых интегралов. Законы сохранения 491
91. Понятие предельного цикла. Элементы теории Пуанкаре-Бендиксона 495
XII. Теория функций комплексного переменного 499
92. Комплексные числа и их общие свойства 499
93. Понятие функции комплексной переменной 503
94. Непрерывность функции комплексной переменной 508
95. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана. Гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции 510
96. Интегрирование функции комплексного переменного по кривой на комплексной плоскости. Теорема Коши. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области 518
97. Интегральная формула Коши (интеграл Коши). Теорема Морера. Различные подходы к понятию аналитичности 528
98. Конформные отображения. Теорема Римана. Конформные отображения некоторыми элементарными функциями: линейной, дробно-линейной, функцией Жуковского 538
99. Принцип соответствия границ. Принцип симметрии 555
100. Ряды непрерывных и аналитических функций. Их равномерная сходимость. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Теорема Лиувилля 560
101. Ряды Лорана 580
102. Изолированные особые точки. Их классификация. Доказательство основной теоремы алгебры 585
103. Вычеты, их вычисление. Основная теорема о вычетах 593
104. Принцип аргумента. Теорема Руше. Применение вычетов и вычисление интегралов 599
XIII. Операционное исчисление 607
105. Преобразование Лапласа, его свойства. Класс оригиналов. Класс изображений 607
106. Основные теоремы операционного исчисления 610
107. Способы восстановления оригинала по изображению 612
108. Свертка оригиналов, ее свойства 615
109. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 616
110. Интеграл Дюамеля и его применение 619
XIV. Уравнения математической физики 621
111. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, стационарные процессы. Электромагнитное поле, уравнения Максвелла 621
112. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду. Характеристическое уравнение. Постановка основных задач: задачи Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач 626
113. Уравнение Лапласа. Формула Грина. Теорема о среднем, принцип максимума. Функция Грина и ее применение к решению краевых задач. Формула Пуассона для шара 631
114. Задача на собственные значения и собственные функции при исследовании смешанной задачи для волнового уравнения. Свойства собственных функций и собственных значений оператора Лапласа 638
115. Метод Фурье решения смешанных задач для неоднородного уравнения колебаний и уравнения теплопроводности 644
116. Функции Бесселя. Решение краевых задач для уравнения Пуассона и смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности в цилиндрических областях 650
117. Интегральные уравнения Фредгольма II рода. Теоремы Фредгольма 667
118. Методы решений интегральных уравнений 675
119. Потенциалы. Сведение краевых задач для уравнения Лапласа (Пуассона) к интегральным уравнениям с помощью потенциалов 680
120. Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона, Кирхгофа. Принцип Гюйгенса 687
121. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона 703
122. Понятие обобщенных функций и обобщенных решений. 5-функция Дирака, фундаментальное решение 707
XV. Теория вероятностей 720
123. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Вероятность. Аксиоматическое построение теории вероятностей 720
124. Элементарная теория вероятностей. Методы вычисления вероятностей 723
125. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса 726
126. Схема Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа 730
127. Дискретные случайные величины, их функции (законы) распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины 735
128. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность вероятности случайной величины, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины 738
129. Нормальное распределение и его свойства 742
130. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Предельная теорема Ляпунова 745
131. Случайные векторы. Функция распределения. Условные распределения случайных величин. Условные математические ожидания. Ковариационная матрица. Коэффициенты корреляции 749
132. Функции случайных величин и случайных векторов, их законы распределения 752
133. Характеристические функции и их простейшие свойства 755
134. Цепи Маркова. Переходные вероятности. Предельная теорема 757
135. Понятие случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс. Стационарные процессы 763
XVI. Математическая статистика 766
136. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия 766
137. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные. Доверительная вероятность и доверительный интервал 769
138. Принцип максимального правдоподобия 773
139. Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии, их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное соотношение, их свойства и оценки 775
XVII. Методы оптимизации 782
140. Классификация оптимизационных задач: задачи математического программирования, вариационного исчисления, оптимального управления. Понятие о многокритериальной оптимизации 782
141. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые задачи оптимизации. Теорема Куна-Таккера 785
142. Задача линейного программирования. Различные формы записи. Геометрическая интерпретация. Двойственность 798
143. Задачи классического вариационного исчисления. Вариация функционала и ее свойства. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Достаточные условия экстремума. Задачи на условный экстремум 801
144. Понятие о задачах оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина для задач оптимального управления 813
Приложение 1. Элементы теории фракталов 825
1. Некоторые повторные сведения о множествах 827
2. О канторовом множестве 828
3. О размерности по Хаусдорфу 830
4. Салфетка и ковер Серпинского 832
5. Фрактальные кривые 834
6. Кривая Кох 835
7. Свойство самоподобия 837
8. Размерность подобия 839
9. Канторова пыль на квадрате 841
10. Фрактальная проводимость 842
11. Диффузия через фрактальную щель 843
Приложение 2. Некоторые вопросы качественной теории динамических систем 845
§ 1. Замечания по бифуркации рождения цикла Пуанкаре-Андронова-Хопфа 845
§ 2. О замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых в точку по фазовой поверхности 856
§ 3. Об отсутствии замкнутых кривых из траекторий, охватывающих фазовый цилиндр 858
§ 4. О существовании топографических систем Пуанкаре в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой 861
§ 5. Кривые контактов и системы сравнения. Предельные циклы и проблема различения центра и фокуса 867
§ 6. О траекториях, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки плоскости 877
§ 7. Периодические и устойчивые по Пуассону траектории в фазовых пространствах динамических систем 883
§ 8. Пространственные топографические системы Пуанкаре и системы сравнения 884
§ 9. Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем 887
§ 10. Об интегрировании некоторых классов систем с переменной диссипацией с нулевым средним на so(4)xR* при наличии циклических интегралов 896
§ 11. О предельных множествах дифференциальных уравнений около сингулярных особых точек 902
Литература 906.