Высшая математика, Руководство к решению задач, Часть 2, Лунгу К.Н., Макаров Е.В., 2007

Высшая математика, Руководство к решению задач, Часть 2, Лунгу К.Н., Макаров Е.В., 2007.

   Учебное пособие написано авторами на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по высшей математике в Московском государственном Открытом университете на различных факультетах. Его следует рассматривать как некоторое методическое руководство по решению наиболее типичных математических задач. Большое внимание уделяется построению и исследованию графиков функций, вычислению пределов последовательностей и пределов функций. Авторы предлагают разные способы решения задач и используют этот прием для ознакомления читателя с большим количеством действий и выбором простейшего.
Пособие рассчитано на студентов очной, заочной и вечерней форм обучения факультетов, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Усвоение материала второй части курса высшей математики зависит от уровня понимания материала первой ее части, ибо нельзя интегрировать и тем более решать дифференциальные уравнения, не умея дифференцировать, нельзя исследовать сходимость числовых и функциональных рядов, не зная определения предела, и т. п
Пособие содержит такие разделы основного курса высшей математики, как интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и ряды, основы теории вероятностей и математической статистики Каждый параграф всех восьми глав, как правило, имеет единую структуру. В начале параграфа даны основные теоретические сведения, формулировки теорем, их интерпретации, формулы. Затем приведено достаточное количество решенных примеров, которые позволят грамотно и без дополнительного обращения к учебникам выбрать правильный подход к решению конкретных задач. Решенные в пособии задачи не только имеют алгоритмический характер, но и способствуют формированию и развитию у студента аналитико-синтетического стиля мышления, который должен обеспечить возможность проанализировать и решить любую задачу из раздела «Упражнения», помещенного в конце параграфа.
Оглавление
Предисловие 6
Раздел А. Основной курс
Глава I Неопределенный интеграл 8
§ 1 Первообразная и неопределенный интеграл 8
§ 2 Простейшие методы интегрирования 19
§ 3 Интегрирование по частям 28
§ 4 Интегрирование рациональных функции 35
§ 5 Интегрирование тригонометрических функций 40
§ 6 Интегрирование гиперболических функций 45
§ 7 Интегрирование иррациональных функций 47
Контрольные задания 55
Глава II Определенный интеграл и его применения 58
§ 1 Определение, свойства, вычисление и применения определенного интеграла 58
§ 2 Применения определенного интеграла к вычислению геометрических величин 67
§ 3 Применения определенного интеграла к вычислению физических величин 78
§ 4 Несобственные интегралы 86
Контрольные задания 91
Глава III Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 94
§ 1 Двойной интеграл, его свойства и вычисление 94
§ 2 Замена переменных в двойном интеграле 104
§ 3 Применения двойного интеграла 109
§ 4 Тройной интеграл и его свойства 115
§ 5 Криволинейные интегралы 125
§ 6 Поверхностные интегралы 138
Контрольные задания 147
Глава IV Дифференциальные уравнения 151
§ 1 Дифференциальные уравнения первого порядка Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решения 151
§ 2 Уравнения с разделенными и с разделяющимися переменными 157
§ 3 Однородные уравнения первого порядка 161
§ 4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли 164
§ 5 Уравнения в полных дифференциалах 167
§ 6 Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 170
§ 7 Дифференциальные уравнения порядка выше первого Уравнения, допускающие понижение порядка 179
§ 8 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 186
§ 9 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 191
§ 10 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго 197
§ 11 Системы дифференциальных уравнений 202
Контрольные задания 215
Глава V Ряды 218
§ 1 Числовой ряд и его сходимость 218
§ 2 Сходимость знакопеременных рядов 226
§ 3 Функциональные ряды Степенные ряды 228
§ 4 Применение рядов в приближенных вычислениях Разложение функций в степенной ряд 234
§ 5 Ряды Фурье 241
Контрольные задания 250
Раздел Б. Основы теории вероятностей и математической статистики
Глава VI Случайные события. Вероятность 252
§ I Элементы комбинаторики 252
§ 2 Основные понятия теории вероятностей 257
§ 3 Теорема сложения вероятностей несовместных событий 265
§ 4 Теорема умножения вероятностей 267
§ 5 Теорема сложения вероятностей совместных событий 273
§ 6 Формула полной вероятности Формула Байеса 275
§ 7 Повторные испытания Формула Бернулли 280
§ 8 Формула Пуассона Поток событий 283
§ 9 Формула Лапласа 285
§ 10 Вероятность отклонения относительной частоты of постоянной вероятности события 288
Контрольные задания 290
Глава VII Случайные величины 297
§ 1 Дискретные случайные величины Основные законы распределения 297
§ 2 Числовые характеристики дискретных случайных величин 302
§ 3 Непрерывные случайные величины 309
§ 4 Числовые характеристики непрерывных случайных величин 312
§ 5 Основные законы распределения непрерывных случайных величин 319
§ 6 Закон больших чисел 324
Контрольные задания 326
Глава VIII Элементы математической статистики 333
§ 1 Статистический материал и его обработка 333
§ 2 Числовые характеристики законов распределения эмпирических величин 337
§ 3 Построение теоретического закона распределения и его согласование с эмпирическими данными 347
§ 4 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности 348
§ 5 Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону 355
§ 6 Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона 357
§ 7 Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по показательному закону 358
§ 8 Линейная корреляция случайных величин 360
§ 9 Однофакторный дисперсионный анализ 364
Контрольные задания 370
Приложение 377
Список литературы 382