Высшая математика, Мини-справочник для ВУЗов, Галабурдин А.В., 2014

Высшая математика, Мини-справочник для ВУЗов, Галабурдин А.В., 2014.
 
  Данный мини-справочник предназначен для студентов гуманитарных факультетов высших учебных заведений при подготовке и сдаче экзаменов по высшей математике.

Свойства определителей.
1. Величина определителя не изменяется при транспонировании |А| = |АT|.
2. Величина определителя не изменяется при четном числе перемен местами двух его строк или столбцов. Например, если поменять местами вторую и шестую строки, то вторая строка поменяется местами с третьей, потом с четвертой, с пятой и затем с шестой, имеем 4 перемены мест (четное число) и определитель не изменится.
3. Определитель изменит только свой знак при нечетном числе перемен местами двух его строк или столбцов. Например, если поменять местами
первый и четвертый столбцы, то первый столбец поменяется местами со вторым, затем с третьим и с четвертым, имеем 3 перемены мест и определитель изменит лишь свой знак.
4. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.
6. Если все элементы какой-нибудь строки или столбца определителя умножить на одно и то же число, то весь определитель умножается на это число.
7. Если к каждому элементу какой-нибудь строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя при этом не изменится.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Линейная алгебра 7
1.1. Матрицы и операции над ними 7
Операции над матрицами 8
1.2. Определители 11
Свойства определителей 12
1.3. Системы линейных алгебраических уравнений 17
1.4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера 18
1.5. Решение систем линейных уравнений методом матричного исчисления 22
1.6. Метод Гаусса 26
1.7. Комплексные числа 33
1.8. Операции над комплексными числами 35
2. Аналитическая геометрия 38
2.1. Уравнения прямой на плоскости 38
2.2. Кривые второго порядка 40
Эллипс 40
Гипербола 42
Парабола 43
2.3. Векторное исчисление 44
2.4. Операции над векторами 45
2.5. Плоскость 47
2.6. Прямая в пространстве 49
3. Введение в математический анализ 51
3.1. Предел функции 52
3.2. Теоремы о бесконечно малых 54
3.3. Теоремы о пределах 54
3.4. Первый замечательный предел 55
3.5. Второй замечательный предел 56
3.6. Сравнение бесконечно малых 57
3.7. Односторонние пределы 59
3.8. Непрерывность функций 60
3.9. Операции над непрерывными функциями 61
3.10. Теоремы о непрерывных функциях 62
3.11. Точки разрыва 63
4. Дифференциальное исчисление 65
4.1. Производные элементарных функций 65
4.2. Правила вычисления производной 66
4.3. Геометрический смысл производной 68
4.4. Дифференциал функции. Теорема о дифференцируемых функциях 69
4.5. Правило Лопиталя 71
4.6. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций 73
4.7. Асимптоты 78
4.8. Исследование функций 80
4.9. Наибольшее и наименьшее значение функции 86
5. Функции нескольких переменных 88
5.1. Частные производные 89
Частные производные от сложных функций 91
5.2. Дифференцирование неявных функций 92
5.3. Градиент функции. Производная по направлению 93
5.4. Частные производные высших порядков 95
5.5. Экстремумы функций нескольких переменных 97
5.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных 100
6. Неопределенный интеграл 104
6.1. Свойства неопределенного интеграла 105
6.2. Таблица интегралов от элементарных функций 106
6.3. Основные методы вычисления интегралов 107
Метод непосредственного интегрирования 107
Метод интегрирования по частям 108
Метод замены переменной 109
7. Определенный интеграл 111
7.1. Свойства определенного интеграла 112
7.2. Формула Ньютона-Лейбница 113
7.3. Методы вычисления определенного интеграла 114
7.4. Геометрический смысл определенного интеграла 116
Применение определенных интегралов для вычисления площадей плоских фигур 117
8. Обыкновенные дифференциальные уравнения 120
8.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 121
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка 122
8.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 123
8.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 126
8.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 129
8.5. Дифференциальные уравнения высших порядков 134
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка 135
Простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка 135
8.6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 136
8.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 139
8.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 141
9. Ряды 146
9.1. Числовые ряды 146
9.2. Свойства сходящихся рядов 147
Необходимый признак сходимости
числового ряда 148
9.3. Знакоположительные (знакопостоянные) числовые ряды 148
Признак Даламбера 149
Признак Коши 149
Интегральный признак сходимости 150
Признак сравнения 152
9.4. Знакопеременные ряды 153
9.5. Знакочередующиеся ряды 154
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница) 155
9.6. Функциональные ряды 156
9.7. Степенные ряды 157
Теорема Абеля 157
9.8. Ряды Тейлора 161
Разложение в ряд Тейлора некоторых функций 162
10. Теория вероятностей 163
10.1. Теорема сложения вероятностей 168
10.2. Теорема умножения вероятностей 168
10.3. Формула полной вероятности 170
Формула Байеса 170
10.4. Повторные независимые испытания 170
10.5. Случайные величины 172
Дискретные случайные величины 173
10.6. Непрерывные случайные величины 174
10.7. Операции над случайными величинами 175
10.8. Числовые характеристики случайных величин 176
Математическое ожидание 176
Дисперсия 178
Моменты случайных величин 180
10.9. Непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону 181
10.10. Закон больших чисел 182
11. Математическая статистика 185.