Высшая математика: этюды по теории и её приложениям

Автор: Фролов С.В., Багаутдинова А.Ш.
Название: Высшая математика: этюды по теории и её приложениям
Издательство: СПб.: ГИОРД
Год: 2012
Страниц: 613
Формат: djvu
Размер: 5 mb
Материал, сгруппированный по основным разделам математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), пополнен некоторыми темами, не входящими в стандартный курс. В книге показано, как на практике работают разделы, изучаемые в курсе высшей математики.
Учебное пособие способствует преодолению разрыва между материалом, излагаемым на первых курсах, и приложениями математики, с которыми студенты встречаются на последних стадиях обучения.
Предлагаемое издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Техническая физика», а также может быть использовано студентами иных естественно-научных и технических специальностей и преподавателями, ищущими красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, материал для математических кружков и т. д.
Содержание:
 Показать / Скрыть текстПредисловие.
Линейная алгебра и геометрия.
Устойчивость разностных схем решения задач математической физики.
Эллиптические координаты.
Оптические свойства кривых второго порядка и устойчивость лазерного луча.
Основы проективной геометрии.
Дважды линейчатые поверхности.
Рациональные параметризации и арифметика алгебраических кривых.
Группа единиц кольца остатков по целому модулю и асимметричная компьютерная криптография (схемы с открытым ключом).
Дифференциальное исчисление.
Явление радуги.
Реальные газы и уравнение Ван-дер-Ваальса.
Кривая намагничивания ферромагнетиков и явление гистерезиса.
Метод наименьших квадратов.
Принцип минимума свободной энергии и каноническое распределение Гиббса.
Простейшие особенности плоских кривых (крест, изолированная точка, клюв) и их распускания.
Огибающие семейств кривых и их особенности.
Дифференциальная геометрия и топология.
Кривизна и кручение пространственной кривой.
Базис Френе и формулы Френе.
Кривизна поверхности.
Гауссова кривизна и средняя кривизна
Внутренняя геометрия поверхности.
Параллельный перенос и геодезические.
Локальная теорема Гаусса-Бонне.
Плоскость Пуанкаре и геометрия Лобачевского.
Эйлерова характеристика поверхности и глобальная теорема.
Гаусса-Бонне. Классификация компактных двумерных поверхностей. Хроматические числа и проблема четырёх красок.
Непрерывные касательные векторные поля к двумерным поверхностям и теорема Пуанкаре.
Теория Морса. Многообразия высших размерностей.
Теорема о кобордизме и гипотеза Пуанкаре.
Комплексные числа.
Комплексное дифференцирование, конформные отображения и гармонические функции.
Дробно-линейные отображения и задача о тепловых потерях трубопровода.
Степенные отображения и задача о громоотводе.
Отображение Жуковского и обтекание цилиндра.
Особые точки гармонических функций (источник, вихрь, диполь).
Вихревые обтекания тел и подъёмная сила крыла.
Комплексная диэлектрическая проницаемость и СВЧ-нагрев пищевых продуктов.
Многочлены, кольца, алгебры, группы, поля.
Многочлены: результант, дискриминант, теорема Безу.
Арифметика мнимых квадратичных колец.
Кватернионы и вращения трёхмерного пространства.
Процедура Кэли-Диксона и октавы. Теоремы Гурвица и Фробениуса.
История становления векторного исчисления.
Конечные некоммутативные группы.
Группы перестановок и симметрий многоугольников и многогранников.
Порождающие элементы, определяющие соотношения и графы групп.
Разрешимые и простые группы.
Римановы поверхности аналитических функций.
Формула Римана-Гурвица. Группы Галуа и теорема Абеля.
Алгебраические расширения полей и построения с помощью циркуля и линейки.
Интегральное исчисление.
Кинетика простейших химических реакций.
Движение в центральном поле. Резерфордовское рассеяние.
Математический маятник и эллиптические интегралы.
Энергия гравитационной дифференциации Земли, мантийная конвекция и дрейф континентов.
Гамма- и бета-функции Эйлера, метод Лапласа и формула Стирлинга.
Сферические координаты в n-мерном пространстве.
Объём и площадь поверхности n-мерного шара.
Магнитное поле контура с током, интеграл Гаусса и коэффициент зацепления.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (количественная теория).
Барометрическая формула в поле центробежной силы и определение молекулярной массы высокомолекулярных соединений.
Последовательные химические реакции и максимальный выход промежуточного продукта.
Функция распределения продукта по времени пребывания в аппаратах непрерывного действия.
Отвод тепла при хранении плодоовощной продукции.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков (количественная теория).
Затухающие колебания. Линейный и нелинейный резонанс.
Уравнение Дуффинга.
Теория флаттера.
Задача Штурма-Лиувилля для радиальной части оператора Лапласа.
Функции Бесселя.
Приближённое решение прямым вариационным методом.
Нелинейные задачи на собственные значения.
Задача Эйлера о потере устойчивости колонны.
Угловая часть оператора Лапласа в полярных и сферических координатах.
Многочлены и функции Лежандра.
Уравнения с периодическими коэффициентами.
Матрица монодромии и решения Флоке.
Параметрический резонанс.
Квазиклассическое приближение, туннельный эффект и альфа-распад атомных ядер.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (качественная теория)
Модели конкуренции и модель хищник-жертва.
Модель роста и таяния ледника и глобальный климат.
Ламповый генератор и уравнения Ван-дер-Поля.
Анализ устойчивости предельного цикла.
Задача Жуковского о виброразделении смесей.
Вырождение собственных частот и вековые слагаемые.
Задача о рациональной компоновке автомобиля.
Устойчивость Лагранжевых движений в ограниченной задаче трёх тел.
Движение в центральном поле: замкнутость траекторий, скрытая симметрия кулоновского потенциала, потенциалы Ленца и задача Максвелла о «рыбьем глазе».
Ряды.
Асимптотическое разложение Эйлера-Маклорена.
Числа Бернулли.
Распределение простых чисел. Функции Мангольда и Римана и гипотеза Римана.
Явление Гиббса и проблема окантовки при компьютерном сжатии изображений.
Вейвлеты.
Уравнения математической физики.
Кинематика движения сплошной среды. Уравнение неразрывности и метод характеристик. «Блины Зельдовича» и крупномасштабное распределение вещества во Вселенной.
Задача остывания (нагревания) тела.
Метод разделения переменных.
Самосопряжённая эллиптическая краевая задача.
Квазиодномерная нестационарная теплопроводность, регулярный тепловой режим и вариационный метод.
Квазиодномерная стационарная теплопроводность, тепловое сопротивление квазиодномерной стенки
Процессы кристаллизации и задача Стефана. Автомодельное решение.
Квазистационарное приближение и формула Планка.
Теплопроводность неоднородных тел.
Методы неравновесной термодинамики и принцип Пригожина. Формула Эйкена
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса).
Задача Стокса о медленном движении шара.
Парадоксы Стокса и Уайтхеда и решение Озеена.
Уравнения Прандтля пограничного слоя.
Решение Блаузиуса. Метод сшивания асимптотических разложений.
Теплоотдача при ламинарном обтекании пластины.
Волны на поверхности воды. Уравнение Кортевега-де-Фриза, солитоны и уединённые волны
Дислокации в кристаллах, модель Френкеля-Конторовой и уравнение синус-Гордон.
Теплоотдача при стекании плёнки жидкости.
Функция распределения продукта по времени пребывания — модель «дрейф + диффузия».
Условия Данкверста.
Уравнение Шрёдингера в центрально-симметричном поле.
Кулоновский потенциал и вырождение уровней в атоме водорода.
Потенциал гармонического осциллятора.
Потенциалы Ленца, модель Томаса-Ферми и строение периодической системы элементов (правило Маделунга).
Вариационный метод приближённого решения задач.
квантовой механики. Потенциал ионизации атома гелия и двухэлектронных ионов.
Прохождение частицы через потенциальный барьер.
Коэффициенты прохождения и отражения, туннельный эффект. Безотражательные потенциалы
Тепловая конвекция, задача Релея и система Лоренца.
Теория вероятностей и математическая статистика.
Некоторые парадоксы элементарной теории вероятностей.
Ветвящиеся процессы и проблема вымирания в теории эволюции.
Процессы случайного блуждания: вероятность возврата, связь с диффузией
Коэффициент корреляции и анализ зависимости источников в историографии
Пространства с мерой. Парадоксы неизмеримости.
Теория динамических систем.
Динамические системы с инвариантной мерой.
Эргодическая теорема Биркгофа и обоснование статистической механики.
Теорема Пуанкаре о возвращении. Перемешивание и термодинамическая необратимость.
Энтропия Колмогорова-Синая и проблема изоморфизма сдвигов Бернулли.
Цепные дроби и приближения иррациональных чисел рациональными.
Проблема построения календарей.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Уравнение Пелля и единицы действительных квадратических колец.
Динамические системы, связанные с цепными дробями.
Теорема Хинчина-Леви.
Отображение отрезка в себя: каскад удвоений, универсальность Фейгенбаума и ренорм-группа.
Странные аттракторы, фракталы и хаусдорфова размерность.
Сосуществование циклов, теорема Шарковского, топологическая и ляпуновская энтропии.
Интегрируемые и неинтегрируемые гамильтоновы системы. Малые знаменатели и КАМ-теория.
Расщепление сепаратрис и отображение Чирикова.
Теория информации и математическая логика.
Понятие количества информации — вероятностный подход.
Формулы Хартли и Шеннона. Условная информация.
Количество информации — алгоритмический подход.
Частично и общерекурсивные функции, тезис Чёрча.
Перечислимые и разрешимые множества. Теорема Колмогорова.
Теория Рамсея, функция Аккермана, теорема Париса-Харрингтона и неполнота арифметики.
Кодирование информации. Проблема однозначности декодирования.
Неравенство Крафта. Полные коды.
Префиксные коды. Код Хаффмана. Арифметическое кодирование.
Словарные алгоритмы сжатия информации.
Коды Зива-Лемпела.
Блочные методы сжатия информации.
Преобразование Барроуза-Уилера
Фрактальное сжатие изображений
Помехоустойчивое кодирование. Линейные коды, генерирующая и проверочная матрицы.
Код Хэмминга.
Плотно упакованные коды.
Проблема максимума определителя, матрицы Адамара и эквидистантные коды.
Ассоциативная память. Спиновые стёкла и модель Хопфилда.
Salefiles | Gboxes | Deposit