Высшая математика для начинающих физиков и техников, Зельдович Я.Б., Яглом И.М., 1982

Высшая математика для начинающих физиков и техников, Зельдович Я.Б., Яглом И.М., 1982.
 Настоящая книга представляет собой введение в математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геометрии и математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) книга содержит понятия о степенных и тригонометрических рядах и о простейших дифференциальных уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики (механика и теория колебаний, теория электрических цепей, радиоактивный распад, лазеры и др.).
Книга рассчитана на читателей, интересующихся естественнонаучными приложениями высшей математики, преподавателей ВУЗов и ВТУЗов, а также будущих физиков и инженеров.

Движение, путь и скорость.
Рассмотрим поступательное движение тела вдоль какой-то прямой линии; расстояние некоторой точки М тела от определенной точки О на этой прямой (координату точки М) обозначим через z, причем в одну сторону это расстояние будем считать положительным, а в другую — отрицательным. Пусть, например, прямая, вдоль которой движется тело, расположена вертикально; точки выше О соответствуют положительным z, точки ниже О — отрицательным z. Удобно представлять себе, что наше тело маленькое, так что можно просто говорить об одной «материальной точке» М и об ее расстоянии от определенной точки О прямой — от начала координат.
Задачи о движении тел с постоянной скоростью v приводят к простым арифметическим и алгебраическим расчетам (основанным на том, что путь равен произведению скорости на время, т. е. па элементарной формуле s = vt, где s — путь, a t — время). Однако в природе мы, как правило, имеем дело с движениями, скорость которых меняется с течением времени. Исследование таких движений приводит к важным физическим понятиям пути и скорости как функций времени; математически уже здесь возникают основные понятия высшей математики — понятия производной и интеграла. В настоящей и следующей главах мы рассмотрим эту ситуацию более подробно.
Оглавление
Предисловие
К читателю
Предисловие для преподавателей
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§1. Функциональная зависимость
§2. Координаты. Расстояния и углы, выраженные в координатах
§3. Графическое изображение функций. Уравнение прямой
§4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола
§5. Параболы и гиперболы высших порядков. Полукубическая парабола
§6. Обратная функция. Графики взаимно-обратных функций
§7. Преобразования графиков функций
§8. Параметрическое задание линий
§9*. Некоторые дополнительные сведения из аналитической геометрии
Глава 2. ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДНАЯ
§1. Движение, путь и скорость
§2*. Теплоемкость тела. Расширение тел при нагревании
§3. Производная. Простейшие примеры вычисления производных
§4. Первые свойства производной. Приближенное вычисление значений функции с помощью производной
§5. Касательная к кривой
§6. Рост и убывание функции. Максимумы и минимумы
§7. Вторая производная функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Глава 3. ЧТО ТАКОЕ ИНТЕГРАЛ
§1. Определение пути по скорости движения и определение площади, ограниченной кривой
§2. Определенный интеграл
§3. Связь между интегралом и производной
§4. Неопределенный интеграл
§5. Свойства интегралов
§6. Примеры и приложения
Глава 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
§1. Дифференциал
§2. Производная суммы и произведения функций
§3. Сложная функция. Производная частного двух функций
§4. Обратная функция. Параметрическое задание функции
§5. Степенная функция
§6. Производные алгебраических функций
§7. Показательная функция
§8. Число е
§9. Логарифмы
§10. Тригонометрические функции
§11. Обратные тригонометрические функции
§12. Производная функции, заданной неявно
Глава 5. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§1. Постановка задачи
§2. Простейшие интегралы
§3. Общие свойства интегралов
§4. Интегрирование по частям
§5. Метод подстановки
§6. Замена переменной в определенном интеграле
Глава 6. РЯДЫ. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§1. Представление функции в виде рядов
§2. Вычисление значений функций при помощи рядов
§3. Случаи неприменимости рядов. Геометрическая прогрессия
§4. Бином Ньютона для целых и дробных показателей
§5. Порядок возрастания и убывания функций. Правило Бернулли—Лопиталя
§6. Дифференциальные уравнения первого порядка. Случай разделяющихся переменных
§7*. Дифференциальное уравнение вытекания воды
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ИЗ ГЕОМЕТРИИ
§1. Гладкие максимумы и минимумы
§2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы. Левая и правая производные функции
§3*. Выпуклые функции и алгебраические неравенства
§4. Вычисление площадей
§5*. Оценки некоторых сумм и произведений
§6*. Еще о натуральном логарифме
§7. Средние значения
§8. Длина кривой
§9. Кривизна и соприкасающаяся окружность
§10. Стереометрические приложения интегрального исчисления
§11. Как строить кривые
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ
Глава 8. РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
§1. Основные характеристики радиоактивного распада
§2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов
§3. Последовательный распад (радиоактивное семейство)
§4. Исследование решения для радиоактивного семейства
§5. Цепная реакция деления урана
§6. Размножение нейтронов в большой массе
§7. Вылет нейтронов
§8. Критическая масса
§9. Подкритическая и надкритическая массы при непрерывном источнике нейтронов
§10. Значение критической массы
Глава 9. МЕХАНИКА
§1. Сила, работа, мощность
§2. Энергия
§3. Равновесие и устойчивость
§4. Второй закон Ньютона
§5. Импульс силы
§6. Кинетическая энергия
§7. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета
§8*. Преобразования Галилея. Энергия в движущейся системе отсчета
§9*. Траектория снаряда. Парабола безопасности
§10. Движение тел в космическом пространстве
§11. Реактивное движение и формула К.Э. Циолковского
§12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня
§13*. Центр тяжести нити и пластинки
§14. Движение тела в среде, противодействующей движению, под действием силы, зависящей только от скорости
§15*. Движение тел в жидкостях и газах
Глава 10. КОЛЕБАНИЯ
§1. Движение под действием упругой силы
§2. Случай силы, пропорциональной отклонению. Гармонические колебания
§3. Маятник
§4. Энергия колебаний. Затухающие колебания
§5. Вынужденные колебания и резонанс
§6. О точных и приближенных решениях физических задач
§7. Сложение колебаний. Биения
§8. Задача о колеблющейся струпе
§9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье
Глава 11. ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ
§1. Условие равновесия в атмосфере
§2. Связь между плотностью и давлением
§3. Распределение плотности
§4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности
§5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии
§6. Скорости химических реакций
§7. Испарение. Ток эмиссии катода
Глава 12. ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА. ЛАЗЕРЫ
§1. Поглощение света (постановка задачи и грубая оценка)
§2. Уравнение поглощения и его решение
§3. Соотношение между точным и грубым расчетами поглощения
§4. Эффективное сечение
§5. Ослабление потока заряженных частиц а- и в*-лучей
§6*. Поглощение и испускание света горячим газом
§7*. Термодинамическое равновесие излучения
§8*. Вероятность излучения и условия термодинамического равновесия
§9*. Лазеры
Глава 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НИХ
§1. Основные понятия и единицы измерения
§2. Разряд емкости через сопротивление
§3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком
§4. Энергия конденсатора
§5. Цепь с индуктивностью
§6. Размыкание цепи с индуктивностью
§7. Энергия индуктивности
§8. Колебательный контур
§9. Затухающие колебания
§10*. Случай большого сопротивления
§11. Переменный ток
§12. Средние величины. Мощность и сдвиг фазы
§13. Колебательный контур в цепи переменного тока. Резонанс напряжений
§14. Параллельное включение индуктивности и емкости. Резонанс токов
§15. Общие свойства резонанса линейной системы
§16*. Ток смещения и электромагнитная теория света
§17*. Нелинейное сопротивление и туннельный диод
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 14. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§1. Основные свойства комплексных чисел
§2. Возведение в мнимую степень и число е
§3. Тригонометрические функции и логарифмы
§4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента. Гиперболические функции
Глава 15. КАКИЕ ФУНКЦИИ НУЖНЫ ФИЗИКУ?
§1. Аналитические функции вещественной переменной
§2. Производные функций комплексной переменной
Глава 16. ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
§1. Различные способы определения функции
§2. Дирак и его функция
§3. Разрывные функции и их производные
§4. Представление дельта-функции формулами
Глава 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
§1. Комплексные числа и механические колебания
§2. Интегралы в комплексной области
§3. Аналитические функции комплексной переменной и течение жидкости
§4. Применения дельта-функции
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЧТО ЖЕ ДАЛЬШЕ?
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Таблица производных
II. Интегралы от некоторых функций
III. Некоторые разложения функций в ряды
IV. Некоторые числовые таблицы
V. Международная система физических единиц СИ
VI. Латинский и греческий алфавиты
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.