Высшая математика для экономистов, Кремер Н.Ш., 2007

Высшая математика для экономистов, Кремер Н.Ш., 2007.
    Эта книга - не только учебник, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т. п. ).
Для студентов и аспирантов экономических ВУЗов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
В настоящее время ощущается острая нехватка учебников и учебных пособий по математическим дисциплинам, в частности по основам высшей математики. Особенно болезненно это отражается на студентах, обучающихся в ВУЗе без отрыва от производства, для многих из которых учебник является основным источником учебной информации. Именно этим студентам в первую очередь адресована настоящая книга.
Учебник написан в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием РФ, и включает следующие разделы: «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения», «Ряды», «Функции нескольких переменных».
При написании курса высшей математики для экономических ВУЗов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции рассматривается после понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Всюду, где это возможно, даются геометрический и экономический смысл математических понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов 1 курса и почти не требуют дополнительной (экономической) информации.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ВВЕДЕНИЕ 5
Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 9
Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 9
1.1. Основные сведения о матрицах 9
1.2. Операции над матрицами 11
1.3. Определители квадратных матриц 16
1.4. Свойства определителей 22
1.5. Обратная матрица 26
1.6. Ранг матрицы 29
Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 38
2.1. Основные понятия и определения 38
2.2. Система линейных уравнений с переменными. Метод обратной матрицы н формулы Крамера 40
2.3. Метод Гаусса 44
2.4. Система т линейных уравнений с п переменными 48
2.5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений 51
2.6. Решение задач 53
2.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ) 56
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА 63
3.1. Векторы на плоскости и в пространстве 63
3.2. «-мерный вектор и векторное пространство 68
3.3. Размерность и базис векторного пространства 70
3.4. Переход к новому базису 74
3.5. Евклидово пространство 76
3.6. Линейные операторы 78
3.7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 82
3.8. Квадратичные формы 86
3.9. Линейная модель обмена 91
Глава 4. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 95
4.1. Уравнение линии на плоскости 95
4.2. Уравнение прямой 96
4.3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой 101
4.4. Окружность и эллипс 104
4.5. Гипербола и парабола 109
4.6. Решение задач 115
4.7. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве 119
Раздел II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 123
Глава 5. ФУНКЦИЯ 123
5.1. Понятие множества 123
5.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки 124
5.3. Понятие функции. Основные свойства функций 125
5.4. Основные элементарные функции 128
5.5. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков 131
5.6. Применение функций в экономике. Интерполирование функций 134
5.7. Решение задач 138
Глава 6. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 141
6.1. Предел числовой последовательности 141
6.2. Предел функции в бесконечности и в точке 143
6.3. Бесконечно малые величины 147
6.4. Бесконечно большие величины 150
6.5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела 153
6.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов 156
6.7. Непрерывность функции 161
6.8. Решение задач 166
Раздел III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 176
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ 176
7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной 176
7.2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостыо функции 178
7.3. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования 181
7.4. Производная сложной и обратной функций 185
7.5. Производные основных элементарных функций. Понятие Производных высших порядков 188
7.6. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике 194
7.7. Решение задач 499
Глава 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 209
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 209
8.2. Правило Лопиталя 212
8.3. Возрастание и убывание функций 216
8.4. Экстремум функции 217
8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 224
8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба 225
8.7. Асимптоты графика функции 229
8.8. Общая схема исследования функций и построения их графиков 232
8.9. Решение задач 235
8.10. Приложение производной в экономической теории 240
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 244
9.1. Понятие дифференциала функции 244
9.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 246
9.3. Понятие о дифференциалах высших порядков 249
Раздел IV. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251
Глава 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 251
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл 251
10.2 Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных атементарных функций 253
10.3. Метод замены переменной 258
10.4. Метод интегрирования по частям 263
10.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 267
10.6. Интегрирование некоторых видов иррациональностсй 271
10.7. Интегрирование тригонометрических функций 274
10.8. Решение задач 275
10.9. Об интегралах, "неберущихся" в элементарных функциях 280
Глава 11. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 283
11.1. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл 283
11.2. Свойства определенного интеграла 288
11.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела 292
11.4. Формула Ньютона-Лейбница 295
11.5. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле 297
11.6. Геометрические приложения определенного интеграла 299
11.7. Несобственные интегралы 307
11.8. Приближенное вычисление определенных интегралов 312
11.9. Использование понятия определенного интеграла в экономике 315
11.10. Решение задач 318
Глава 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 325
12.1. Основные понятия 325
12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения 328
12.3. Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка 330
12.4. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 334
12.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 337
12.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 339
12.7. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 340
12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 341
12.9. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике 350
Раздел V. РЯДЫ 356
Глава 13. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 356
13.1. Основные понятия. Сходимость ряда 356
13.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд 360
13.3. Ряды с положительными членами 362
13.4. Ряды с членами произвольного знака 369
13.5. Решение задач 373
Глава 14. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 379
14.1. Область сходимости степенного ряда 379
14.2. Ряд Маклорена 384
14.3. Применение рядов в приближенных вычислениях 388
14.4. Решение задач 391
Раздел VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 397
Глава 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 397
15.1. Основные понятия 397
15.2. Предел и непрерывность 402
15.3. Частные производные 404
15.4. Дифференциал функции 406
15.5. Производная по направлению. Градиент 408
15.6. Экстремум функции нескольких переменных 410
15.7. Наибольшее и наименьшее значения функции 414
15.8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 417
15.9. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов 420
15.10. Понятие двойного интеграла 425
15.11. Функции нескольких переменных в экономической теории 428
15.12. Решение задач 433
Приложение 438
Глава 16. Комплексные числа 438
16.1. Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость 438
16.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 440
Упражнения 444
Литература 445
Ответы к упражнениям 446
Алфавитно-предметный указатель 456.