Высшая математика для экономистов. Клюшин В.Л. 2009

Название: Высшая математика для экономистов.
Автор: Клюшин В.Л.
2009
   Изложены основы линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории рядов. Основные теоретические положения учебного материала сопровождаются решением задач. Везде, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, рассматриваются экономические приложения и простейшие модели. В основу книги положены лекции, которые автор читает на протяжении многих лет.
Для студентов экономических факультетов ВУЗов, экономистов-практиков, а также лиц, занимающихся самообразованием.
   Эта книга представляет собой учебное пособие по высшей математике для студентов экономических специальностей и написана в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям.
Пособие соответствует программе по высшей математике для экономистов, рассчитанной приблизительно на 200 часов аудиторных занятий. Оно предназначено студентам-первокурсникам, а также студентам, изучающим общий курс высшей математики на протяжении первых трех семестров обучения в ВУЗе. В книге представлены элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, математический анализ, основы теории дифференциальных уравнений и рядов. Следует заметить, что это только фундаментальная часть математики для экономистов, существует еще прикладная часть, не вошедшая в эту книгу: «Теория вероятностей и математическая статистика», «Оптимизация и основы теории принятия решений».
Излагаемый теоретический материал сопровождается, где это возможно, экономическими приложениями, дается экономический смысл математических понятий, приводятся математические формулировки некоторых экономических законов. Некоторые приложения выделены в отдельные главы. Все экономические приложения несложны, поскольку студенты первого курса еще не располагают серьезными экономическими знаниями.
Автор надеется, что книга будет полезна также студентам-заочникам и экономистам-практикам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
Раздел I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 4
1.1. Линейные операции над векторами 4
1.2. Скалярное произведение векторов 6
1.3. Линейная зависимость векторов 6
1.4. Базис и ранг системы векторов 8
1.5. Разложение вектора по базису 9
1.6. Линейные нормированные пространства. Евклидово пространство 10
Глава 2. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 15
2.1. Основные понятия 15
2.2. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц 16
2.3. Умножение матриц 18
2.4. Обратная матрица 20
Глава 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 26
3.1. Основные понятия 26
3.2. Свойства определителей 30
3.3. Миноры и алгебраические дополнения 32
3.4. Применение определителей 35
3.5. Ранг матрицы 38
Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 41
4.1. Основные понятия 41
4.2. Методы решения систем линейных уравнений 43
4.3. Совместность систем линейных уравнений 53
4.4. Однородные системы линейных уравнений 56
4.5. Неоднородные системы. Структура общего решения системы линейных неоднородных уравнений 58
Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61
5.1. Понятие линейного оператора 61
5.2. Действия с линейными операторами 63
5.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 64
Глава 6. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 67
6.1. Основные понятия 67
6.2. Канонический вид квадратичной формы 73
6.3. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы 76
Раздел II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 7. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ 80
7.1. Основные понятия 80
7.2. Общее уравнение линии первого порядка. Прямая на плоскости 81
Глава 8. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 92
8.1. Окружность. Эллипс 92
8.2. Гипербола 95
8.3. Парабола 97
8.4. Общее уравнение линии второго порядка 98
8.5. Преобразования координат 99
8.6. Преобразование общего уравнения линии второго порядка 103
Глава 9. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 108
9.1. Плоскость в пространстве 108
9.2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве 110
Раздел III. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Глава 10. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 116
10.1. Задача об использовании ресурсов 116
10.2. Общая задача линейного программирования 117
10.3. Элементы теории двойственности 120
Глава 11. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА 131
11.1. Модель Леонтьева 131
11.2. Линейная модель обмена 134
Раздел IV. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 138
12.1. Понятие множества 138
12.2. Операции над множествами. Счетные и несчетные множества 139
12.3. Числовые множества. Числовая прямая 140
12.4. Модуль действительного числа 141
12.5. Метод математической индукции 141
12.6. Соединения и бином Ньютона 143
Глава 13. ФУНКЦИЯ 147
13.1. Понятие функции 147
13.2. Основные элементарные функции 149
13.3. Элементарные функции 153
13.4. Применение функций в экономике 155
Глава 14. ПРЕДЕЛЫ 159
14.1. Последовательность. Предел последовательности 159
14.2. Предел функции 161
14.3. Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины 162
14.4. Основные теоремы о пределах 164
14.5. Два замечательных предела 168
Глава 15. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 178
15.1. Основные понятия 178
15.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке 181
15.3. Экономическая интерпретация непрерывности 181
15.4. Сравнение бесконечно малых 183
Раздел V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 16. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 187
16.1. Производная 187
16.2. Применение производной в экономике 189
16.3. Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью 191
16.4. Вычисление производной 192
16.5. Производные основных элементарных функций 198
16.6. Дифференциал 202
Глава 17. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 208
17.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 208
17.2. Правило Лопиталя 212
17.3. Формула Тейлора 215
Глава 18. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 222
18.1. Признак монотонности функции 222
18.2. Экстремум функции 222
18.3. Первое достаточное условие экстремума 223
18.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 224
Глава 19. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 228
19.1. Второе достаточное условие экстремума 228
19.2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 228
19.3. Асимптоты 231
19.4. Общая схема исследования функций и построения графиков 232
19.5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью производных высших порядков 236
Глава 20. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 240
20.1. Максимизация прибыли 240
20.2. Эластичность 240
20.3. Оптимизация налогообложения 242
Раздел VI. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 21. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 244
21.1. Первообразная и неопределенный интеграл 244
21.2. Основные методы интегрирования 247
21.3. Интегрирование рациональных дробей 251
21.4. Интегрирование иррациональных функций 258
21.5. Интегрирование тригонометрических функций 259
Глава 22. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 263
22.1. Понятие определенного интеграла 263
22.2. Свойства определенного интеграла 266
22.3. Основная формула интегрального исчисления 270
22.4. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 273
22.5. Приближенное вычисление определенных интегралов 274
Глава 23. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 278
23.1. Геометрические и механические приложения определенного интеграла 278
23.2. Приложения определенного интеграла в экономике 282
Глава 24. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 285
24.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 285
24.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 288
24.3. Признаки сходимости несобственных интегралов 289
Раздел VII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 25. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ 294
25.1. Евклидово пространство 294
25.2. Множества в евклидовом пространстве 295
25.3. Понятие функции многих переменных 297
25.4. Предел и непрерывность 300
Глава 26. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИХ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 303
26.1. Частные приращения и частные производные 303
26.2. Полное приращение и полный дифференциал 306
26.3. Производная по направлению. Градиент 310
26.4. Формула Тейлора 313
Глава 27. ЭКСТРЕМУМЫ. УСЛОВНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ 318
27.1. Локальный экстремум функции нескольких переменных 318
27.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 323
27.3. Условный экстремум 324
27.4. Метод наименьших квадратов 327
Глава 28. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ 334
28.1. Основные понятия 334
28.2. Наибольшее значение вогнутой функции. Условия Куна — Таккера 335
Раздел VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 29. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИКИ 341
29.1. Основные понятия 341
29.2. Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения 343
29.3. Применение дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики 349
Глава 30. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 356
30.1. Основные понятия 356
30.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 356
30.3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 360
30.4. Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 369
Глава 31. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 389
31.1. Основные понятия 389
31.2. Линейные разностные уравнения 391
31.3. Модель делового цикла Самуэльсона — Хикса 394
Раздел IX. РЯДЫ
Глава 32. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 397
32.1. Понятие числового ряда 397
32.2. Основные свойства рядов 399
32.3. Ряды с неотрицательными членами 401
32.4. Ряды с членами произвольного знака 408
Глава 33. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 413
33.1. Основные понятия 413
33.2. Свойства равномерно сходящихся рядов 417
33.3. Степенные ряды 421
Глава 34. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА 428
34.1. Разложение функции в степенной ряд 428
34.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена 430
34.3. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям 432
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 437