Высшая математика, Дифференциальное и интегральное исчисление, Том 2, Бугров Я.С., Никольский С.М., 2004

Высшая математика, Дифференциальное и интегральное исчисление, Том 2, Бугров Я.С., Никольский С.М., 2004.
 
  Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов - «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» (том 1) и «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» (том 3) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Книга содержит: введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Определение арифметических действий.
Общие соображения. Для действительных чисел можно определить арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно. На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.
В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I—V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства- Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже — в § 2.5.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 11
§1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества 11
§1.2. Операции над множествами 13
§1.3. Символика математической логики 15
§1.4. Действительные числа 16
§1.5. Определение равенства и неравенства 20
§1.6. Определение арифметических действий 22
§1.7. Основные свойства действительных чисел 29
§1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа 31
§1.9. Неравенства для абсолютных величин 33
§1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество 34
§1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел 35
Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 39
§2.1. Понятие предела последовательности 39
§2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел 47
§2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 50
§2.4. Неопределенные выражения 52
§2.5. Монотонные последовательности 54
§2.6. Число е 58
§2.7. Принцип вложенных отрезков 59
§2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества 61
§2.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса 66
§2.10. Верхний и нижний пределы 68
§2.11. Условие Коши сходимости последовательности 71
§2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел 73
Глава 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 75
§3.1. Функция » 75
§3.2. Предел функции 88
§3.3. Непрерывность функции 98
§3.4. Разрывы первого и второго рода 106
§3.5. Функции, непрерывные на отрезке 110
§3.6. Обратная непрерывная функция 115
§3.7. Равномерная непрерывность функции 118
§3.8. Элементарные функции 121
§3.9. Замечательные пределы 136
§З.10. Порядок переменной. Эквивалентность 139
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 144
§4.1. Производная 144
§4.2. Геометрический смысл производной 148
§4.3. Производные элементарных функций 156
§4.4. Производная сложной функции 158
§4.5. Производная обратной функции 160
§4.6. Производные элементарных функций (продолжение) 161
§4.7. Дифференциал функции 164
§4.8. Другое определение касательной 168
§4.9. Производная высшего порядка 169
§4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка 171
§4.11. Дифференцирование параметрически заданных функций 174
§4.12. Теоремы о среднем значении 174
§4.13. Раскрытие неопределенностей 182
§4.14. Формула Тейлора 186
§4.15. Ряд Тейлора 192
§4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций 195
§4.17. Локальный экстремум функции 200
§4.18. Экстремальные значения функции на отрезке 205
§4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба 207
§4.20. Асимптота графика функции 212
§4.21. Непрерывная и гладкая кривая 215
§4.22. Схема построения графика функции 217
§4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали 222
Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227
§5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов 227
§5.2. Методы интегрирования 232
§5.3. Комплексные числа 239
§5.4. Теория многочлена п-й степени 244
§5.5. Действительный многочлен п-й степени 247
§5.6. Интегрирование рациональных выражений 250
§5.7. Интегрирование иррациональных функций 254
Глава 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 259
§6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение 259
§6.2. Свойства определенных интегралов 267
§6.3. Интеграл как функция верхнего предела 275
§6.4. Формула Ньютона-Лейбница 278
§6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме 284
§6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла 286
§6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций 289
§6.8. Несобственные интегралы 291
§6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 296
§6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов 300
§6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках 302
Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 305
§7.1. Площадь в полярных координатах 305
§7.2. Объем тела вращения 306
§7.3. Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги 307
§7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента 316
§7.5. Площадь поверхности вращения 321
§7.6. Интерполяционная формула Лагранжа 323
§7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций 326
§7.8. Формула Симпсона 330
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 335
§8.1. Предварительные сведения 335
§8.2. Предел функции 338
§8.3. Непрерывная функция 345
§8.4. Частные производные и производная по направлению 350
§8.5. Дифференцируемые функции 356
§8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 360
§8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала 364
§8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент 366
§8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 372
§8.10.Формула Тейлора 378
§8.11. Замкнутое множество 380
§8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве —386
§8.13. Экстремумы 391
§8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции 397
§8.15.Теорема существования неявной функции.399
§8.16. Касательная плоскость и нормаль 404
§8.17. Системы функций, заданных неявно 407
§8.18. Отображения 414
§8.19. Условный (относительный) экстремум 416
Глава 9. РЯДЫ 425
§9. 1. Понятие ряда 425
§9.2. Несобственный интеграл и ряд 428
§9.3. Действия с рядами 430
§9.4. Ряды с неотрицательными членами 432
§9.5. Ряд Лейбница 438
§9.6. Абсолютно сходящиеся ряды 439
§9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами 441
§9.8. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 442
§9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов 451
§9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов 458
§9.11. Степенные ряды 462
§9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 467
§9.13. Функции еz, sin z, cos z от комплексного переменного 474
§9.14. Ряды в приближенных вычислениях 478
§9.15. Понятие кратного ряда 487
§9.16.Суммирование рядов и последовательностей 496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 502.