Высшая математика - Том 3 - Бугров Я.С., Никольский С.М.

Название: Высшая математика - Том 3. 2004.
Автор: Бугров Я.С., Никольский С.М.
   Учебник соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Для студентов инженерно-технических специальностей ВУЗов.
    Третий том содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления.


    В начале каждой главы сразу даются основные понятия. Формальные доказательства теорем, как правило, приводятся в конце главы или параграфа. Это позволяет читателю в случае необходимости ограничиться изучением первоначально изложенного материала.
В главах «Уравнения математической физики» и «Ряды Фурье» авторы в ряде случаев при выводе формул ограничились лишь физическими соображениями.
Главы 6 и 7, посвященные теории функций комплексного переменного и операционному исчислению, можно рассмотреть и до главы 4 «Ряды Фурье. Интеграл Фурье». Для понимания последней никаких сведений из теории функций комплексного переменного, кроме элементарных знаний о комплексных числах, не требуется. В частности, показано, как можно вычислить конкретные интегралы Фурье без привлечения операционного исчисления.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 11
§ 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 11
§ 1.2. Общие понятия 12
§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.... ..............24
§ 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 36
§ 1.5. Метрическое пространство 40
§ 1.6. Доказательство теоремы существования решения дифференциального уравнения первого порядка 47
§ 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка 51
§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 52
§ 1.9. Особые решения 56
§ 1.10. Огибающая семейства кривых 57
§ 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка 60
§ 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка 63
§ 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка 65
§ 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 69
§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка 73
§ 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 81
§ 1.17. Метод вариации постоянных 87
§ 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения 90
§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство 103
§ 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений 107
§ 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 112
§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 121
§ 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 124
§ 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов 128
§ 1.25. Элементы теории устойчивости 134
§ 1.26. Классификация точек покоя 142
Глава 2. Кратные интегралы 154
§ 2.1. Введение 154
§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана 161
§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования 168
§ 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным.... 173
§ 2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции 185
§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай 187
§ 2.7. Замена переменных. Общий случай 189
§ 2.8. Полярная система координат в плоскости....193
§ 2.9. Полярная система координат в пространстве 196
§ 2.10. Цилиндрические координаты 198
§ 2.11. Площадь поверхности 200
§ 2.12. Координаты центра масс 208
§ 2.13. Несобственные интегралы 213
§ 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии 218
§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра 219
Глава 3. Векторный анализ 230
§ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая....230
§ 3.2. Криволинейный интеграл первого рода 233
§ 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой 235
§ 3.4. Поле потенциала 241
§ 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах 250
§ 3.6. Ориентация плоской области 252
§ 3.7. Формула Грина 254
§ 3.8. Интеграл по поверхности первого рода 259
§ 3.9. Ориентация поверхности 261
§ 3.10. Система координат и ориентация поверхности 264
§ 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области 268
§ 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 271
§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского 276
§ 3.14. Соленоидальное поле 284
§ 3.15. Формула Стокса 285
Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье   291
§ 4.1. Тригонометрические ряды 291
§ 4.2. Сходимость тригонометрических рядов 297
§ 4.3. Ряд Фурье 299
§ 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье 302
§ 4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 306
§ 4.6. Коэффициенты Фурье 308
§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье 309
§ 4.8. Пространство функций со скалярным произведением .' 310
§ 4.9. Ортогональная система функций 314
§ 4.10. Полнота тригонометрических функций 318
§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье 322
§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 323
§ 4.13. Косинус- и синус-преобразования Фурье 331
§ 4.14. Примеры 332
§ 4.15. Приближение интеграла Фурье 336
§ 4.16. Сумма Фейера 337
§ 4.17. Полнота систем функций в С и L2' 343
§ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье....346
Глава 5. Уравнения математической физики 361
§ 5.1. Температура тела 361
§ 5.2. Задача Дирихле 363
§ 5.3. Задача Дирихле для круга 364
§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости 366
§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне 369
§ 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня 374
§ 5.7. Малые колебания струны 376
§ 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 381
§ 5.9. Колебание круглой мембраны 382
§ 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля 387
§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле) 390
§ 5.12. Применение преобразований Фурье 395
Глава 6. Теория функций комплексного переменного 401
§ 6.1. Понятие функции комплексного переменного 401
§ 6.2. Производная функция комплексного переменного 404
§ 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана) 411
§ 6.4. Гармонические функции 415
§ 6.5. Обратная функция 419
§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 425
§ 6.7. Формула Коши 431
§ 6.8. Интеграл типа Коши 434
§ 6.9. Степенной ряд 435
§ 6.10. Ряд Лорана 438
§ 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты .444
§ 6.12. Классификация особых точек на бесконечности . 451
§ 6.13. Теорема о вычетах 454
§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов 455
§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция 462
Глава 7. Операционное исчисление 468
§ 7.1. Изображение Лапласа 468
§ 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений 470
§ 7.3. Приложения операционного исчисления 487
Глава 8. Обобщенные функции 495
§ 8.1. Понятие обобщенной функции 495
§ 8.2. Операции над обобщенными функциями 501
§ 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций 503
Предметный указатель 506