Вычислительно сложные задачи теории чисел, Гречников Е.А., Михайлов С.В., Нестеренко Ю.В., 2012

Вычислительно сложные задачи теории чисел, Гречников Е.А., Михайлов С.В., Нестеренко Ю.В., 2012.
  В учебном пособии подробно рассматриваются четыре задачи, привлекающие внимание исследователей на протяжении последних десятилетий: разложение больших составных чисел на множители, дискретное логарифмирование в мультипликативной группе вычетов по простому модулю, решение больших разреженных систем линейных уравнений над конечными полями, вычисление ранга эллиптических кривых, определенных над полем рациональных чисел.
Наиболее быстрые алгоритмы решения первых двух задач основаны на так называемом алгоритме решета числового поля, сводящем их к решению больших разреженных систем линейных уравнений над конечными полями. Системы эти настолько велики, что к ним не применимы обычные алгоритмы решения. Используются специальные блочные итерационные алгоритмы.
Эта область прикладной теории чисел активно развивается во всем мире в связи с приложениями в криптографии. Из-за отсутствия нижних оценок сложности решения этих теоретико-числовых задач, единственным способом проверки надежности используемых криптографических алгоритмов служит их практическая проверка с использованием самых совершенных алгоритмов и наиболее мощной вычислительной техники.
Ключевые слова: факторизация, дискретное логарифмирование, разреженные линейные системы уравнений, ранг эллиптической кривой.

Параллельные версии алгоритмов.
Как можно заметить из оценок (3.5) и (3.6), на время работы алгоритмов влияют два основных фактора - сложность вычисления произведения матрицы на вектор и количество таких произведений, необходимое для срабатывания алгоритма.
Наиболее трудоемкими с вычислительной точки зрения операциями в обоих алгоритмах являются операции вычисления произведения матрицы на вектор и скалярного произведения векторов. Как уже упоминалось выше, в алгоритме Видемана можно избавиться от скалярного произведения векторов, взяв в качестве и блок единичных базисных векторов. В алгоритме Ланцоша наличие скалярного произведения векторов принципиально, и избавиться от него не удается.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Часть I. Решение линейных систем уравнений
Введение
Глава 1. Скалярные алгоритмы и приближения Паде
1.1. Приближения Паде
1.1.1. Алгоритм Евклида
1.1.2. Подходящие дроби как решения систем линейных уравнений
1.1.3. Промежуточные дроби
1.1.4. Алгоритм Берлекемпа - Месси
1.2. Алгоритм Видемана
1.2.1. Алгоритм Видемана и приближения Паде
1.3. Алгоритм Ланцоша
1.3.1. Алгоритм Ланцоша и приближения Паде
1.3.2. Схема Горнера и ортогональные многочлены
Глава 2. Блочный алгоритм Видемана - Копперсмита
2.1. Описание алгоритма
2.2. Построение матричных приближений Паде
2.2.1. Приведенный базис
2.2.2. Сдвиг степеней
2.3. Вероятность получения ненулевого решения
2.3.1. Обзор многомерного случая
2.3.2. Одномерный случай
Глава 3. Параллельные алгоритмы Видемана и Ланцоша
3.1. Краткое описание алгоритмов
3.1.1. Алгоритм Видемана
3.1.2. Алгоритм Ланцоша
3.1.3. Блочные алгоритмы над полем GF{2)
3.1.4. Вычислительные вопросы
3.2. Последовательные версии алгоритмов
3.2.1. Алгоритмы Видемана
3.2.2. Алгоритмы Ланцоша
3.3. Параллельные версии алгоритмов
3.3.1. Параллельное умножение матрицы на вектор
3.3.2. Параллельный алгоритм Видемана
3.3.3. Параллельный алгоритм Ланцоша
3.4. Некоторые замечания
Часть II. Алгоритм просеивания и его применения
Введение
Глава 1. Разложение на множители больших чисел
1.1. Алгоритм факторизации методом решета числового поля
1.2. Порядок А и его свойства
1.2.1. Простые идеалы первой степени в кольце А
1.2.2. Показатели
1.2.3. Расширение идеалов кольца А
1.3. Оценка индекса порядка А
1.4. Обоснование алгоритма
1.5. Извлечение квадратного корня в поле алгебраических чисел
Глава 2. Алгоритм дискретного логарифмирования
2.1. ?-функции и виртуальные логарифмы
2.1.1. ?-функции
2.1.2. Чистая образующая главного идеала
2.1.3. Определение виртуального логарифма идеала
2.1.4. Основная теорема
2.2. Алгоритм дискретного логарифмирования методом решета числового поля
2.3. Комментарии и обоснование алгоритма
2.3.1. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов
2.3.2. Уравнения системы
2.3.3. Вычисление индивидуальных логарифмов
Глава 3. Просеивание
3.1. Просеивание на решетках
Глава 4. Выбор многочленов
4.1. Характеристики многочленов
4.1.1. Размер многочлена
4.1.2. Гладкость многочлена
4.1.3. Функции Мерфи Е и с
4.2. Классические алгоритмы
4.2.1. Разложение по основанию m
4.2.2. Алгоритм Монтгомери
4.3. Современные алгоритмы
4.3.1. Алгоритм Монтгомери - Мерфи
4.3.2. Алгоритм Кляйнюнга
4.3.3. Оптимизация многочленов
Часть III. Эллиптические кривые над полем рациональных чисел
Введение
Глава 1. Рациональные точки на эллиптических кривых
1.1. Основные определения
1.2. Точки кручения
1.3. Высоты и их свойства
1.4. Редукция по простому модулю
Глава 2. Нахождение ранга эллиптической кривой
2.1. Алгоритм Берча - Суиннертон-Дайера и его обоснование
2.2. Реализация алгоритма Берча - Суиннертона-Дайера
2.2.1. Отыскание 2-накрытий
2.2.2. Отбор неэквивалентных 2-накрытий
2.2.3. Поиск р-адических точек на 2-накрытиях
2.2.4. Поиск рациональных точек на 2-накрытиях и эллиптических кривых
Глава 3. Построение базиса группы рациональных точек
3.1. Общая схема алгоритма
3.2. Нахождение высот рациональных точек
3.2.1. Разложение канонической высоты в сумму локальных высот
3.2.2. Вычисление локальной высоты в архимедовом случае
3.2.3. Замена параметра
3.2.4. Оценка ошибки при вычислении локальной высоты
3.2.5. Вычисление локальной высоты в неархимедовом случае
3.3. Работа с 2-накрытиями
3.4. Факторгруппа E(Q)/2E(Q)
3.5. Оценка нижней границы высот рациональных точек
3.5.1. Вычисление эллиптических логарифмов
3.5.2. Вычисление суммы DE(n)
3.5.3. Вычисление константы а
3.5.4. Основной алгоритм
3.6. Выделение базиса из полного набора независимых точек
3.7. Поиск рациональных корней многочленов
Глава 4. Задача дискретного логарифмирования на эллиптической кривой
Введение
4.1. Обзор некоторых методов
4.2. Исчисление “xedni”
Список литературы.