Вычислительная математика, Устинов С.М., Зимницкий В.А., 2009

Вычислительная математика, Устинов С.М., Зимницкий В.А., 2009.
 
  Изложены аппроксимация функций и смежные вопросы, задачи линейной алгебры, нелинейные уравнения и системы, методы решения дифференциальных уравнений, введение в минимизацию функций. Особое внимание обращается на реальные трудности, возникающие на практике при аппроксимации и минимизации функций, при решении этих задач. Важное место в изложении материала занимают проблема плохой обусловленности при решении линейных систем алгебраических уравнений, явление жесткости в дифференциальных уравнениях и явление овражности при минимизации функций. Дается представление о том, как строится программное обеспечение для обсуждаемых методов.
Для студентов, аспирантов, преподавателей технических ВУЗов и инженеров.

Интерполирование сплайнами.
На практике интерполяционные полиномы высоких степеней строят крайне редко. В первую очередь, это связано с тем, что их коэффициенты очень чувствительны к погрешностям исходных данных. Сравнительно малое изменение узлов интерполирования хk или значений функции f(xk) приводит к сильному изменению вида самого полинома. В такой ситуации одним из возможных вариантов аппроксимации является разбиение большой исходной
таблицы на участки, для каждого из которых строится интерполяционный полином относительно невысокой степени. Этот подход используется, например, при получении составных квадратурных формул, рассматриваемых далее. Однако в целом ряде приложений требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой, а функция, составленная из различных полиномов, в узлах сопряжения не имела производной. Выходом из создавшегося положения является использование сплайн-интерполяции.
Сплайн (от англ. spline) — это длинная гибкая тонкая рейка, используемая чертежниками в качестве лекала для проведения гладких кривых через заданные точки. Математическое осмысление этого инструмента и породило теорию сплайнов, аппарат которой заметно выходит за рамки описания механического сплайна. Расположив чертеж в вертикальной плоскости и закрепив рейку, в узлах интерполяции к ней подвешивают грузила и добиваются, чтобы деформированная рейка совместилась со всеми точками.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. аппроксимация функций и смежные вопросы
1.1. Общие сведения
1.2. Постановка задачи интерполирования
1.3. Интерполяционный полином Лагранжа. Остаточный член полинома Лагранжа
1.4. Выбор узлов интерполирования
1.5. Интерполяционный полином Ньютона для равно- и неравноотстоящих узлов
1.6. Интерполирование сплайнами
1.7. Интерполяционный полином Эрмита
1.8. Обратная интерполяция
1.9. Простейшие квадратурные формулы
1.9.1. Составные квадратурные формулы
1.9.2. Погрешности составных формул
1.10. Общий подход к построению квадратурных формул. Метод неопределенных коэффициентов
1.10.1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса
1.10.2. Квадратурные формулы Чебышева
1.10.3. Квадратурные формулы Гаусса
1.11. Адаптивные квадратурные формулы. Программа QUANC8
1.12. Численное дифференцирование
1.12.1. Влияние погрешности задания функции на точность
1.13. Среднеквадратичная аппроксимация функций. Постановка задачи
1.13.1. Дискретный случай. Весовые коэффициенты
1.13.2. Непрерывный случай. Понятие ортогональности
1.13.3. Ортогональные полиномы и их свойства
Глава 2. Задачи линейной алгебры
2.1. Обусловленность матриц
2.2. Метод Гаусса. LU-разложение матрицы. Программы DECOMP и SOLVE
2.3. Итерационные методы
2.4. Метод сопряженных градиентов
2.5. Решение проблемы собственных значений
2.5.1. Устойчивость проблемы собственных значений
2.5.2. Частичная проблема собственных значений. Степенной метод
2.5.3. Полная проблема собственных значений. QR-алгоритм
Глава 3. Решение нелинейных уравнений и систем
3.1. Уточнение корней одного уравнения
3.2. Метод Ньютона для систем уравнений
3.3. Методы минимальных невязок Ракитского
Глава 4. Решение дифференциальных уравнений
4.1. Методы Адамса. Локальная и глобальная погрешности. Степень метода
4.2. Методы Рунге — Кутты. Программа RKF45
4.3. Устойчивость методов. Ограничение на шаг интегрирования и явление жесткости
4.4. Численное решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
4.5. Решение краевой задачи. Методы стрельбы и конечных разностей
4.6. Решение краевой задачи. Введение в проекционные методы
4.7. Введение в методы решения уравнений в частных производных
Глава 5. Введение в минимизацию функций
5.1. Минимизация функции одной переменной
5.2. Введение в многомерную минимизацию
5.3. Явление овражности и дифференциальное уравнение линии спуска
5.3.1. Метод барьерных функций
5.3.2. Метод штрафных функций
Глава 6. И кое-что еще
6.1. Сингулярное разложение матрицы и его использование в методе наименьших квадратов
6.1.1. Сингулярное разложение матрицы
6.1.2. Метод наименьших квадратов с использованием сингулярного разложения
6.1.3. Псевдообратная матрица
6.2. Понятие некорректно поставленной задачи
6.3. Свойства жестких систем дифференциальных уравнений
Приложения
Приложение 1. Конечные разности, суммы, разностные уравнения
П1.1. Конечные разности и их свойства
П1.2. Разделенные разности и их свойства
П1.3. Суммирование функций
П1.4. Разностные уравнения
П1.4.1. Линейное разностное уравнение первого порядка
П1.4.2. Линейные разностные уравнения порядка выше первого
Приложение 2. Линейные (векторные) пространства
Приложение 3. Элементы теории матриц
П3.1. Общие сведения о матрицах
П3.2. Операции с матрицами
П3.3. Собственные значения и собственные векторы матриц
П3.4. Нормы матриц
П3.5. Матричный ряд и матричные функции
П3.6. Некоторые свойства матричной экспоненты
П3.7. Аналитическое решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
П3.8. Аналитическое решение систем линейных разностных уравнений с постоянной матрицей
П3.9. Устойчивость решений дифференциальных и разностных уравнений
Приложение 4. Степенные асимптотические разложения
Приложение 5. Практические занятия
П5.1. Упражнения
П5.1.1. Введение
П5.1.2. Погрешность арифметических операций
П5.1.3. Конечные разности и суммирование функций
П5.1.4. Линейное разностное уравнение порядка выше первого
П5.1.5. Интерполяция функций
П5.1.6. Численное дифференцирование и квадратурные формулы
П5.1.7. Среднеквадратичная аппроксимация и ортогональные полиномы
П5.1.8. Задачи на матрицы. Векторно-матричное решение систем дифференциальных и разностных уравнений на основе формулы Лагранжа — Сильвестра
П5.1.9. Решение систем нелинейных уравнений
П5.1.10. Устойчивость численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
П5.2. Лабораторные работы
П5.2.1. Интерполяция и квадратурные формулы (программы SPLINE, SEVAL, QUANC8)
П5.2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений(программы DECOMP и SOLVE)
П5.2.3. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (программа RKF45)
П5.2.4. Проблема собственных значений и преобразования Хаусхолдера и Гивенса
П5.3. Курсовая работа
П5.3.1. Вычисление орбиты корабля "Аполлон"
П5.3.2. Решение краевой задачи методом стрельбы
П5.3.3. Решение краевой задачи конечно-разностным методом с использованием метода Ньютона
П5.3.4. Решение задачи параметрической идентификации (оценка параметров электрической цепи)
ЛИТЕРАТУРА
Предметный указатель.