Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB, Горбаченко В.И., 2011

Вычислительная линейная алгебра с примерами на MATLAB, Горбаченко В.И., 2011.
  Излагаются теоретические основы численных методов, включая теорию погрешностей, особенности машинной арифметики, корректность и обусловленность вычислительных задач; современные прямые и итерационные методы решения больших систем линейных алгебраических уравнений. Основное внимание уделено современным итерационным методам на основе подпространств Крылова. Рассмотрено решение частичной и полной проблемы собственных значений, в том числе для больших разреженных матриц. Для основных вычислительных методов приведены реализации с использованием программ, разработанных автором, а также соответствующие функции системы MATLAB.

Обусловленность вычислительной задачи.
Рассмотрим корректную вычислительную задачу. Корректная задача теоретически позволяет найти ее решение со сколь угодно малой погрешностью при условии малых погрешностей исходных данных. Погрешности исходных данных не могут быть устранены никакими методами решения, и на практике они всегда конечны и не могут быть сколь угодно малыми, хотя в каком-то смысле они все же малы. Поэтому важно знать, как малые погрешности исходных данных трансформируются в погрешность результата. Это существенно еще и потому, что, как показали последние исследования [24—26], существуют задачи (названные "особыми"), у которых малые изменения параметров могут привести к радикальному изменению свойств решения.
Например, устойчивое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей систему автоматического управления, может стать неустойчивым при малом изменении параметров. Причем малое изменение параметров реальной системы и, соответственно, модели может произойти в процессе эксплуатации системы, например из-за износа. Неустойчивость системы управления может привести к аварии.
Чувствительность решения вычислительной задачи к малым погрешностям исходных данных называется обусловленностью задачи. Задача называется хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных данных соответствуют малые погрешности решения. В противном случае задача называется плохо обусловленной.
Оглавление
Введение
Глава 1. Теоретические основы численных методов
1.1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
1.2. Погрешности вычислений
1.2.1. Источники погрешностей вычислений
1.2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность
1.2.3. Особенности машинной арифметики
1.2.4. Трансформированные погрешности арифметических операций
1.2.5. Трансформированные погрешности вычисления функций
1.3. Свойства вычислительных задач и алгоритмов
1.3.1. Корректность вычислительной задачи
1.3.2. Обусловленность вычислительной задачи
1.3.3. Требования, предъявляемые к численному методу
1.4. Вопросы и задания для самопроверки
Библиографический список к главе 1
Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрицы и их свойства
2.2. Метод Гаусса
2.3. Метод прогонки
2.4. Метод LU-разложения
2.5. Метод Холецкого
2.6. Метод LDLт-разложения
2.7. Метод QR-разложения
2.7.1. Метод вращений
2.7.2. Метод отражений
2.7.3. Приведение матриц к форме Хессенберга
2.8. Вычисление определителей и обращение матриц
2.9. Оценка погрешностей решений, получаемых прямыми методами
2.10. Решение систем с прямоугольными матрицами
2.10.1.    Постановка задачи наименьших квадратов. Нормальные уравнения
2.10.2. Использование QR-разложения для решения задачи наименьших квадратов
2.10.3. Использование сингулярного разложения
2.11. Реализация прямых методов в MATLAB
2.11.1. Некоторые функции матричных вычислений и реализации прямых методов в MATLAB
2.11.2. Хранение и обработка разреженных матриц
2.11.3. Примеры программ
2.12. Задания для лабораторных н самостоятельных работ
2.13. Вопросы и задания для самопроверки
Библиографический список к главе 2
Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
3.1. Дискретизация задач математической физики и особенности решения систем алгебраических уравнений Equation Chapter 3 Section 1
3.2. Основные теоретические положения итерационных методов
3.3. Метод Ричардсона
3.4. Методы простой итерации и Якоби
3.5. Методы Зейделя и последовательной верхней релаксации
3.5.1. Метод Зейделя
3.5.2. Метод последовательной верхней релаксации
3.6. Блочные и асинхронные итерационные методы
3.7. Методы спуска
3.8. Предобусловливатели
3.9. Методы подпространств Крылова
3.9.1. Краткие сведения из функционального анализа и линейной алгебры
3.9.2. Проекционные методы
3.9.3. Подпространства Крылова
3.9.4. Методы ортогонализации
3.9.5. Метод сопряженных градиентов
3.9.6. Методы подпространств Крылова для несимметричных и знаконеопределенных задач
3.10. Итерационные методы решения нормальных систем линейных алгебраических уравнений
3.11. Итоговые замечания
3.12. Реализация итерационных методов в MATLAB
3.12.1. Некоторые функции реализации итерационных методов в MATLAB
3.12.2. Примеры программ
3.13. Задания для лабораторных и самостоятельных работ
3.14. Вопросы и задания для самопроверки
Библиографический список к главе 3
Глава 4. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
4.1. Собственные пары матриц и их свойства
4.2. Решение частичной проблемы собственных значений
й метод
4.2.2. Метод скалярных произведений
4.2.3. Метод обратных итераций. Обратные итерации со сдвигами
4.2.4. Градиентный метод решения частичной проблемы собственных значений
4.3. Решение полной проблемы собственных значений
4.3.1. QR-алгоритм решения полной проблемы собственных значений
4.3.2. Методы для симметричных задач на собственные значения
4.3.3. Использование QR-алгоритма для вычисления собственных векторов
4.4. Вычисление сингулярного разложения
4.4.1. Приведение матрицы к двухдиагональной форме
4.4.2. Сингулярное разложение двухдиагональной матрицы
4.5. Вычисление собственных значений больших разреженных матриц
4.5.1. Метод одновременных итераций
4.5.2. Метод Арнольди
4.5.3. Метод Ланцоша
4.6. Обобщенная задача на собственные значения
4.6.1. Основы теории
4.6.2. Решение обобщенной задачи на собственные значения
4.7. Вычисление собственных пар в MATLAB
4.7.1. Стандартные функции MATLAB
4.7.2. Примеры программ
4.8. Задания для лабораторных и самостоятельных работ
4.9. Вопросы и задания для самопроверки
Библиографический список к главе 4
Литература по вычислительной математике
Литература по по системе MATLAB
Предметный указатель.