Введение в теорию вероятностей и её приложения, Том 2, Феллер В., 1963

Введение в теорию вероятностей и её приложения, Том 2, Феллер В., 1963.
   Это второй том учебника по теории вероятностей - первый вышел двумя изданиями на английском языке и тремя изданиями на русском языке и завоевал заслуженную популярность.
Книга рассчитана на читателей различных уровней - от студентов младших курсов университетов до специалистов-математиков. Она, безусловно, заинтересует также физиков и инженеров различных специальностей, которые в своей работе пользуются вероятностными методами.

Пуассоновские ансамбли точек.
Как показано в 1, гл. VI, 6, пуассоновский закон управляет не только «точками, распределенными случайно по оси времени», но также ансамблями точек (такими, как дефекты в изделиях или изюминки в булках), распределенных случайно на плоскости или в пространстве при условии, что t интерпретируется как площадь или объем. Основное предположение состоит в том, что вероятность нахождения k точек в заданной области зависит только от площади или объема области, но не от ее формы и что явления в неперекрывающихся областях независимы. Путем несложных формальных выкладок можно прийти к интересным результатам, касающимся таких случайных ансамблей точек, но замечания относительно пуассоновского процесса одинаково применимы и к пуассоновским ансамблям; полное вероятностное описание сложно и лежит вне рамок настоящего тома.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к русскому изданию 1967 5
От переводчика 6
Предисловие к первому изданию 7
Предисловие ко второму изданию 10
Обозначения 12
Глава I. Показательные и равномерные плотности 13
§1. Введение 13
§2. Плотности. Свертки 15
§3. Показательная плотность 21
§4. Парадоксы, связанные с временем ожидания. Пуассоновский процесс 24
§5. Устойчивость неудач 29
§6. Времена ожидания и порядковые статистики 31
§7. Равномерное распределение 35
§8. Случайные разбиения 39
§9. Свертки и теоремы о покрытии 41
§10. Случайные направления 44
§11. Использование меры Лебега 48
§12. Эмпирические распределения 51
§13. Задачи
Глава II. Специальные плотности. Рандомизация 60
§1. Обозначения и определения 60
§2. Гамма-распределения 60
§3. Распределения математической статистики, связанные с гамма-распределением 63
§4. Некоторые распространенные плотности 65
§5. Рандомизация и смеси 69
§6. Дискретные распределения 72
§7. Бесселевы функции и случайные блуждания 74
§8. Распределения на окружности 78
§9. Задачи 81
Глава III. Многомерные плотности. Нормальные плотности и процессы 84
§1. Плотности 84
§2. Условные распределения 90
§3. Возвращение к показательному и равномерному распределениям 92
§4. Характеризация нормального распределения 96
§5. Матричные обозначения. ковариационная матрица 99
§6. Нормальные плотности и распределения 102
§7. Стационарные нормальные процессы 107
§8. Марковские нормальные плотности
§9. Задачи 120
Глава IV. Вероятностные меры и пространства 124
§1. Бэровские функции 125
§2. Функции интервалов и интегралы 128
§3. Измеримость 134
§4. Вероятностные пространства. Случайные величины 138
§5. Теорема о продолжении 142
§6. Произведения пространств. Последовательности независимых случайных величин 145
§7. Нулевые множества. Пополнение 149
Глава V. Вероятностные распределения 151
§1. Распределения и математические ожидания 152
§2. Предварительные сведения 162
§3. Плотности 164
§4. Свертки 164
§5. Симметризация 175
§6. Интегрирование по частям. Существование моментов 178
§7. Неравенство Чебышева 179
§8. Дальнейшие неравенства. Выпуклые функции 180
§9. Простые условные распределения. Смеси 185
§10. Условные распределения 189
§11. Условные математические ожидания 191
§12. Задачи
Глава VI. Некоторые важные распределения и процессы 198
§1. Устойчивые распределения 198
§2. Примеры 203
§3. Безгранично делимые распределения 206
§4. Процессы с независимыми приращениями 210
§5. Обобщенные пуассоновские процессы и задачи о разорении 213
§6. Процессы восстановления 215
§7. Примеры и задачи 219
§8. Случайные блуждания 224
§9. Процессы массового обслуживания 228
§10. Возвратные и невозвратные случайные блуждания 235
§11. Общие марковские цепи 240
§12. Мартингалы 245
§13. Задачи 252
Глава VII. Законы больших чисел. Применения в анализе 255
§1. Основная лемма. Обозначения 255
§2. Полиномы Бернштейна. Абсолютно монотонные функции 258
§3. Проблема моментов 260
§4. Применение к симметрично зависимым случайным величинам 265
§5. Обобщенная формула Тейлора и полугруппы 267
§6. Формулы обращения для преобразования Лапласа 270
§7. Законы больших чисел для одинаково распределенных случайных величин 271
§8. Усиленный закон больших чисел 275
§9. Обобщение для мартингалов 280
§10. Задачи
Глава VIII. Основные предельные теоремы 285
§1. Сходимость мер 285
§2. Специальные свойства 291
§3. Распределения как операторы 293
§4. Центральная предельная теорема 297
§5. Бесконечные свертки 305
§6. Теоремы о выборе 307
§7. Эргодические теоремы для цепей Маркова 311
§8. Правильно меняющиеся функции 315
§9. Асимптотические свойства правильно меняющихся функций 320
§10. Задачи 326
Глава IX. Безгранично делимые распределения и полугруппы 332
§1. Общее знакомство с темой 332
§2. Полугруппы со сверткой 335
§3. Подготовительные леммы 339
§4. Случай конечных дисперсий 341
§5. Основные теоремы 343
§6. Пример: устойчивые полугруппы 349
§7. Схемы серий с одинаковыми распределениями 352
§8. Области притяжения 356
§9. Различные распределения. Теорема о трех рядах 360
§10. Задачи 363
Глава X. Марковские процессы и полугруппы 366
§1. Псевдопуассоновский тип 367
§2. Вариант: линейные приращения 369
§3. Скачкообразные процессы 371
§4. Диффузионные процессы 378
§5. Прямое уравнение. Граничные условия 383
§6. Диффузия в многомерном случае 390
§7. Подчиненные процессы 392
§8. Марковские процессы и полугруппы 396
§9. "Показательная формула" в теории полугрупп 400
§10. Производящие операторы. Обратное уравнение 403
Глава XI. Теория восстановления 406
§1. Теорема восстановления 406
§2. Доказательство теоремы восстановления 412
§3. Уточнения 415
§4. Устойчивые (возвратные) процессы восстановления 417
§5. Число N1 моментов восстановления 422
§6. Обрывающиеся (невозвратные) процессы 424
§7. Различные применения 427
§8. Существование пределов в случайных процессах 429
§9. Теория восстановления на всей прямой 431
§10. Задачи 437
Глава XII. Случайные блуждания 440
§1. Основные понятия и обозначения 441
§2. Двойственность. Типы случайных блужданий 445
§3. Распределение лестничных высот. Факторизация Винера - Хопфа 450
§4. Примеры 457
§5. Применения 461
§6. Одна комбинаторная лемма 465
§7. Распределение лестничных моментов 466
§8. Закон арксинуса 470
§9. Различные дополнения 477
§10. Задачи 479
Глава XIII. Преобразование Лапласа. Таубероны теоремы. Резольвенты 484
§1. Определения. Теорема непрерывности 484
§2. Элементарные свойства 489
§3. Примеры 492
§4. Вполне монотонные функции. Формулы обращения 495
§5. Тауберовы теоремы 498
§6. Устойчивые распределения 504
§7. Безгранично делимые распределения 506
§8. Многомерный случай 509
§9. Преобразования Лапласа для полугрупп 511
§10. Теорема Хилле - Иосиды 516
§11. Задачи 521
Глава XIV. Применение преобразования Лапласа 524
§1. Уравнение восстановления: теория 524
§2. Уравнение типа уравнения восстановления: примеры 526
§3. Предельные теоремы, включающие распределения арксинуса 529
§4. Периоды занятости и соответствующие ветвящиеся процессы 531
§5. Диффузионные процессы 534
§6. Процессы размножения и гибели. Случайные блуждания 538
§7. Дифференциальные уравнения Колмогорова 543
§8. Пример: чисты процесс размножения 548
§9. Вычисление эргодических пределов и времен первого прохождения 551
§10. Задачи 555
Глава XV. Характеристические функции 558
§1. Определение. Основные свойства 558
§2. Специальные плотности. смеси 562
§3. Единственность. Формулы обращения 568
§4. Свойства регулярности 573
§5. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 576
§6. Условие Линдеберга 580
§7. Характеристические функции многомерных распределений 584
§8. Две характеризации нормального распределения 587
§9. Задачи 590
Глава XVI. Асимтотические разложения, связанные с центральной предельной теоремой 595
§1. Обозначения 596
§2. Асимптотические разложения для плотностей 597
§3. Сглаживание 601
§4. Асимптотические разложения для распределений 604
§5. Теорема Верри - Эссена 608
§6. Асимптотические разложения в случае различно распределенных слагаемы 612
§7. Большие отклонения 615
Глава XVII. Безгранично делимые распределения 621
§1. Безгранично делимые распределения 621
§2. Канонические формы. Основная предельная теорема 625
§3. Примеры и специальные свойства 634
§4. Специальные свойства 638
§5. Устойчивые распределения и их области притяжений 643
§6. Устойчивые плотности 651
§7. Схема серий 653
§8. Класс L 659
§9. Частичное притяжение. "Универсальные законы" 661
§10. Бесконечные свертки 664
§11. Многомерный случай 665
§12. Задачи 666
Глава XVIII. Применение методов Фурье к случайным блужданиям 670
§1. Основное тождество 670
§2. Конечные интервалы. Вальдовская аппроксимания 673
§3. Факторизация Винера - Хола 676
§4. Выводы и применения 682
§5. Две более основательные теоремы 685
§6. Критерии возвратности 687
§7. Задачи 690
Глава XIX. Гармонический анализ 693
§1. Равенство Парсепаля 693
§2. Положительно определенные функции 695
§3. Стационарные процессы 697
§4. Ряды Фурье 701
§5. Формула суммирования Пуассона 704
§6. Положительно определенные последовательности 708
§7. L2 теория 711
§8. Случайные процессы и стохастические интегралы 718
§9. Задача 725.