Введение в теорию множеств и общую топологию, Александров П.С., 2010

Введение в теорию множеств и общую топологию, Александров П.С., 2010.
  Книга является введением в современные разделы общей топологии. Первые три главы представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой «наивной» точки зрения. В главах 4–6 дается изложение основных топологических фактов, касающихся метрических и топологических пространств. Особое внимание при этом обращается на метризационные теоремы и понятия компактности (бикомпактности) и паракомпактности. Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов физико-математических факультетов университетов.

Понятие множества.
На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих в пруду, зайцев, живущих в лесах Московской области, и т. п.
В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «совокупность» употребить слово «множество».
В математике постоянно приходится иметь дело с различными множествами: например, с множеством вершин или диагоналей какого-нибудь многоугольника, множеством делителей числа 30 и т. д.
Все приведенные примеры множеств обладают одним существенным свойством: все эти множества состоят из определенного конечного числа элементов; последнюю фразу мы понимаем в том смысле, что в каждом из упомянутых случаев на вопрос «сколько?» (людей в комнате, гусей на пруду, делителей числа 30) мы можем ответить или прямым указанием известного нам целого числа (например, число делителей числа 30 есть 8), или указанием на то, что целое число, дающее ответ на вопрос, во всяком случае имеется, хотя в данный момент и при данном состоянии наших знаний нам может быть и неизвестно, каково оно именно. Множества, состоящие лишь из конечного числа элементов, называются конечными множествами.
В математике приходится постоянно сталкиваться и с другими — не конечными, или, как принято говорить, бесконечными, множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех четных чисел, всех целых, дающих при делении на 11 в остатке 7, всех прямых, проходящих через данную точку плоскости.
Оглавление
Предисловие
Глава первая. О бесконечных множествах
§1. Понятие множества
§2. Подмножества. Операции над множествами
§3. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества. Семейства множеств и покрытия
§4. Теоремы о счетных множествах
§5. Понятие о частично упорядоченном и (линейно) упорядоченном множестве
§6. О сравнении мощностей
Глава вторая. Действительные числа
§1. Дедекиндовское определение иррационального числа
§2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани
§3. Действия над действительными числами
§4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность континуума
Глава третья. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа
§1. Упорядоченные множества
§2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств
§3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах
§4. Счетные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса). Понятие конфинальности. Аксиома выбора
§5. Теорема Цермело
§6. Теоремы о кардинальных числах
§7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем начальном числе, которому конфинален данный порядковый тип
Глава четвертая. Метрические и топологические пространства
§1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств
§2. Непрерывные отображения
§3. Связность
§4. Базы и вес топологического пространства
§5. Подмножества прямой и плоскости
§6. Некоторые классические примеры метрических пространств и их свойства
§7. Пространства со счетной базой
§8. Аксиомы отделимости
§9. Ограниченные множества в Rn, теоремы Больцано - Вейерштрасса, Кантора и Бореля - Лебега. Теорема Коши
Глава пятая. Компактные и полные метрические пространства
§1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе
§2. Непрерывные отображения компактов
§3. Связность в компактных пространствах
§4. Компакты как непрерывные образы канторова дисконтинуума
§5. Определение и примеры полных метрических пространств
§6. Пополнение метрического пространства
§7. Простейшие свойства полных метрических пространств
§8. Компактность и полнота
§9. Множества, являющиеся одновременно множествами Fsigma и Gdelta в компактных метрических пространствах
Глава шестая. Условия типа компактности и метризация топологических пространств
§1. Бикомпактные пространства
§2. Непрерывные отображения бикомпактных пространств
§3. Теорема Вейерштрасса - Стоуна
§4. Топологическое произведение и теоремы Тихонова
§5. Внутренняя характеристика вполне регулярных пространств
§6. Максимальное бикомпактное расширение вполне регулярного пространства
§7. Построение всех бикомпактных расширений данного вполне регулярного пространства
§8. Свойства связности и нульмерности для бикомпактов
§9. Некоторые универсальные бикомпактные пространства
§10. Диадические бикомпакты
§11. Открытые покрытия; паракомпактность и другие свойства типа компактности
§12. Локально бикомпактные пространства
§13. Метризационные теоремы Александрова - Урысона и Нагата - Смирнова
Прибавление к главе шестой. Теорема о мощности бикомпактов с первой аксиомой счетности
Прибавление. Проекционные спектры и абсолют
§1. Общее понятие обратного спектра топологических пространств. Абстрактные проекционные спектры
§2. Проекционные спектры над семействами разбиений
§3. Теорема реализации для абстрактных спектров
§4. Леммы о неприводимых замкнутых отображениях
§5. Абсолют регулярного пространства
§6. Экстремально несвязные пространства
§7. Соабсолютные пространства
Литература
Предметный указатель.