Введение в алгебру, Часть 1, Основы алгебры, Кострикин А.И., 2000

Введение в алгебру, Часть 1, Основы алгебры, Кострикин А.И., 2000.
   Рассмотрены системы линейных уравнений, элементарная теория матриц, теория определителей, простейшие свойства групп, колец и полей, комплексные числа и корни многочленов. Помещено большое число упражнений различной степени трудности. Специальный раздел посвящен обсуждению некоторых нерешенных задач о многочленах.
Для студентов младших курсов университетов и ВУЗов с повышенными требованиями по математике.

ИСТОКИ АЛГЕБРЫ.
С чего начинается алгебра? С некоторым приближением можно сказать, что истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать и возводить в степень целые числа. Формальная, но далеко не очевидная и не однозначная замена чисел буквами позволяет действовать по аналогичным правилам в пределах гораздо более общих алгебраических систем. Стало быть, попытка ответить исчерпывающим образом на поставленный вопрос увела бы нас не только в глубь веков, в тайны зарождения математической мысли. Более трудная часть ответа была бы связана с описанием основных структур алгебры наших дней: групп, колец, полей, модулей и т. п. Но этому как раз и посвящена значительная часть книги, так что цель главы 1 кажется пока недостижимой.
К счастью, под абстрактной оболочкой большинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера, решение которых служило в свое время счастливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко идущим обобщениям. В свою очередь развитая теория давала импульс и средства к решению новых задач. Сложное взаимодействие теоретических и прикладных аспектов теории, присущее всей математике, в алгебре проступает весьма отчётливо и делает в какой-то мере оправданным принятый нами концентрический стиль изложения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ 10
ГЛАВА 1 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ
§1. Алгебра вкратце 12
§2. Некоторые модельные задачи 15
1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах (15).
2. Задача о состояниях многоатомной молекулы (17).
3. Задача о кодировании сообщения (18).
4. Задача о нагретой пластинке (18).
§3. Системы линейных уравнений. Первые шаги 19
1. Терминология (20).
2. Эквивалентность линейных систем (21).
3. Приведение к ступенчатому виду (23).
4. Исследование системы линейных уравнений (24).
5. Отдельные замечания и примеры (26).
§4. Определители небольших порядков 29
Упражнения (33).
§5. Множества и отображения 33
1. Множества (33).
2. Отображения (35).
Упражнения (40).
§6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений 41
1. Бинарные отношения (41).
2. Отношение эквивалентности (41).
3. Факторизация отображений (42).
4. Упорядоченные множества (44). Упражнения (45).
§7. Принцип математической индукции 46
Упражнения (50).
§8. Перестановки 50
1. Стандартная запись перестановки (50).
2. Цикловая структура перестановки (52).
3. Знак перестановки(56).
4. Действие Sn на функциях (58).
Упражнения (60).
§9. Арифметика целых чисел 61
1. Основная теорема арифметики (61).
2. НОД и НОК в Z (63).
3. Алгоритм деления в Z (63).
Упражнения (64).
ГЛАВА 2 МАТРИЦЫ
§1. Векторные пространства строк и столбцов 65
1. Мотивировка (65).
2. Основные определения (66).
3. Линейные комбинации. Линейная оболочка (67)
4. Линейная зависимость (68).
5. Базис. Размерность (69).
Упражнения (72).
§2. Ранг матрицы 72
1. Возвращение к уравнениям (72).
2. Ранг матрицы (74).
3. Критерий совместности (76).
Упражнения (77).
§3. Линейные отображения. Действия с матрицами 78
1. Матрицы и отображения (78).
2. Произведение матриц (81).
3. Транспонирование матриц (83).
4. Ранг произведения матриц (84).
5. Квадратные матрицы (86).
6. Классы эквивалентных матриц (91).
7. Вычисление обратной матрицы (93).
8. Пространство решений (96).
Упражнения (98).
ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§1. Определители: построение и основные свойства 102
1. Геометрическая мотивировка (102).
2. Комбинаторно-аналитический подход (104).
3. Основные свойства определителей (105).
Упражнения (112).
§2. Дальнейшие свойства определителей 113
1. Разложение определителя по элементам столбца или строки (113).
2. Определители специальных матриц (116).
Упражнения (119).
§3. Применения определителей 121
1. Критерий невырожденности матрицы (121).
2. Формулы Крамера (123).
3. Метод окаймляющих миноров (125).
Упражнения (128).
§4. К построению теории определителей 130
1. Первое аксиоматическое построение (130).
2. Второе аксиоматическое построение (131).
3. Построение методом полной индукции (131).
4. Характеризация мультипликативными свойствами (131).
Упражнения (133).
ГЛАВА 4 ГРУППЫ. КОЛЬЦА. ПОЛЯ
§1. Множества с алгебраическими операциями 134
1. Бинарные операции (134).
2. Полугруппы и моноиды (135).
3. Обобщённая ассоциативность; степени (136).
4. Обратимые элементы (138).
Упражнения (139).
§2. Группы 139
1. Определение и примеры (139).
2. Циклические группы (142).
3. Изоморфизмы (143).
4. Гомоморфизмы (147).
5. Словарик. Примеры (148).
Упражнения (149).
§3. Кольца и поля 151
1. Определение и общие свойства колец (151).
2. Сравнения. Кольцо классов вычетов (155).
3. Гомоморфизмы колец (156).
4. Типы колец. Поле (157).
5. Характеристика поля (161).
6. Замечание о линейных системах (163).
Упражнения (165).
ГЛАВА 5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ
§1. Поле комплексных чисел 167
1. Вспомогательная конструкция (167).
2. Плоскость комплексных чисел (168).
3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами (169).
4. Возведение в степень и извлечение корня (173).
5. Теорема единственности (175).
6. Элементарная геометрия комплексных чисел (176).
Упражнения (179).
§2. Кольцо многочленов 180
1. Многочлены от одной переменной (181).
2. Многочлены от многих переменных (185).
3. Алгоритм деления с остатком (187).
Упражнения (188).
§3. Разложение в кольце многочленов 190
1. Элементарные свойства делимости (190).
2. НОД и НОК в кольцах (192).
3. Факториальность евклидовых колец (194).
4. Неприводимые многочлены (197).
Упражнения (200).
§4. Поле отношений 201
1. Построение поля отношений целостного кольца (201).
2. Поле рациональных дробей (203).
3. Простейшие дроби (204).
Упражнения (207).
ГЛАВА 6 КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ
§1. Общие свойства корней 208
1. Корни и линейные множители (208).
2. Полиномиальные функции (210).
3. Дифференцирования кольца многочленов (212).
4. Кратные множители (214).
5. Формулы Виета (216).
Упражнения (218).
§2. Симметрические многочлены 220
1. Кольцо симметрических многочленов (220).
2. Основная теорема о симметрических многочленах (221).
3. Метод неопределённых коэффициентов (224).
4. Дискриминант многочлена (226).
5. Результант (228).
Упражнения (231).
§3. Алгебраическая замкнутость поля С 232
1. Формулировка основной теоремы (232).
2. Доказательство основной теоремы (234).
3. Ещё одно доказательство основной теоремы (237).
§4. Многочлены с вещественными коэффициентами 241
1. Разложение на неприводимые множители в R[X] (241).
2. Простейшие дроби над С и R (242).
3. Проблема локализации корней многочлена (244).
4. Вещественные многочлены с вещественными корнями (249).
5. Устойчивые многочлены (251).
6. Зависимость корней многочлена от коэффициентов (252).
7. Вычисление корней многочлена (254).
8. Рациональные корни целочисленных многочленов (255).
Упражнения (257).
ПРИЛОЖЕНИЕ НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ О МНОГОЧЛЕНАХ
1. Проблема якобиана 259
2. Задача о дискриминанте 261
3. Задача о двух порождающих кольца многочленов 261
4. Задачи о критических точках и критических значениях 262
5. Задача о глобальной сходимости метода Ньютона 263
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 266.