Введение в алгебраические коды, Сагалович Ю.Л., 2011

Введение в алгебраические коды, Сагалович Ю.Л., 2011.
   Содержание этой книги составляет годовой курс "Алгебраические коды" , который автор читал в течение ряда лет в Московском физико-техническом институте (государственном университете). Разумеется, за 120-130 академических часов, включая и семинарские занятия, можно сообщить студентам лишь ничтожную долю тех сведений, которые накоплены за полвека развития этой замечательной ветви теории информации. И находясь под влиянием богатства результатов, красоты и изящества теории алгебраических кодов, автор всегда испытывал чувство досады по поводу рамок учебной программы, ограничивающей желание лектора внушить своим слушателям во всей полноте значимость и стройность алгебраической теории кодирования.

Приведённая система вычетов.
Согласно утверждению 1.5.6, числа одного и того же класса по модулю m имеют с модулем один и тот же наибольший общий делитель. Особенно важны классы, для которых этот делитель равен единице, т.е. числа взаимно простые с модулем. Взяв от каждого класса по одному вычету, получим приведённую систему вычетов.
Обычно приведённую систему вычетов выбирают из наименьших неотрицательных вычетов 0, 1, ..., m ? 1. Обозначим через c количество чисел ряда 0, 1, ..., m ? 1, взаимно простых с m.
Обозначим c = ?(m). Эта функция называется функцией Эйлера.
Оглавление
Предисловие
Предисловие ко второму изданию
Введение
0.1 Система передачи информации
0.2 Кодовое расстояние
0.3 Скорость передачи и расстояние
0.4 Код Хэмминга
0.5 Задачи к введению
1 Начальные сведения из теории чисел
1.1 Предварительные замечания
1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Эвклида
1.3 Сравнения
1.4 Свойства сравнений
1.5 Дальнейшие свойства сравнений
1.6 Полная система вычетов
1.7 Приведённая система вычетов
1.8 Теоремы Эйлера и Ферма
1.9 Функция Эйлера мультьпликативна
1.10 Вычисление функции Эйлера
1.11 Первообразные корни
1.12 Индексы
1.13 Приложения к криптографии
1.14 Задачи к главе 1
2 Элементы теории групп, колец и полей
2.1 Множество с операцией
2.2 Обратная операция
2.3 Группа
2.4 Порядок группы и порядок элемента группы
2.5 Примеры групп
2.6 Подгруппы
2.7 Циклические группы
2.8 Подгруппы циклической группы
2.9 Разложение группы по подгруппе
2.10 Нормальные делители
2.11 Изоморфизм групп
2.12 Гомоморфизм групп
2.13 Несколько замечаний
2.14 Кольцо
2.15 Поле
2.16 Идеал
2.17 Линейное векторное пространство
2.18 Задачи к главе 2
3 Конечные поля
3.1 Множество классов-вычетов
3.2 Поле разложения многочлена xpm ? x
3.3 Цикличность мультипликативной группа поля
3.4 Задание поля корнем неприводимого многочлена
3.5 Строение конечных полей.
3.6 Изоморфизм полей Галуа
3.7 Автоморфизм поля Галуа
3.8 Представление поля Галуа матрицами
3.9 Задачи к главе 3
4 Линейные коды
4.1 Код как линейное подпространство
4.2 Порождающая матрица кода
4.3 Проверочная матрица кода
4.4 Каноническая форма базисных матриц
4.5 Проверочная матрица и расстояние
4.6 Декодирование линейного кода
4.7 Операции над кодами
4.8 Мажоритарное декодирование
4.9 Коды Рида—Маллера
4.10 Кодирование кода Рида—Маллера
4.11 Сложность кодирования
4.12 Декодирование кода Рида—Маллера
4.13 Сложность декодирования
4.14 Матрицы Адамара
4.15 Заключение
4.16 Задачи к главе 4
5 Циклические коды
5.1 Циклический код как идеал
5.2 Порождающая матрица циклического кода
5.3 Проверочная матрица циклического кода
5.4 Каноническая форма базисных матриц
5.5 Многочлен с заданными свойствами
5.6 Циклический код Хэмминга
5.7 Векторы всех циклических кодов
5.8 Задачи к главе 5
6 Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема
6.1 Важнейший класс циклических кодов
6.2 Коды, двойственные кодам Хэмминга
6.3 Параметры кодов БЧХ
6.4 Декодирование кодов БЧХ
6.5 Декодирование двоичных кодов с исправлением двух ошибок
6.6 Нормальный базис и след элемента поля
6.7 Квадратное уравнение над GF(2m)
6.8 Общий случай декодирования двоичных кодов БЧХ
6.9 Общий случай декодирования q-ичных кодов БЧХ
6.10 Коды БЧХ и исправление стираний
6.11 Задачи к главе 6
7 Коды МДР
7.1 Коды на границе Синглтона
7.2 Коды Рида—Соломона
7.3 Кодирование кода РС
7.4 Удлинение кодов РС
7.5 Декодирование кодов РС
7.6 Алгоритм Эвклида для многочленов
7.7 Вывод ключевого уравнения
7.8 Решение ключевого уравнения
7.9 Вывод ключевого уравнения на случай ошибок и стираний
7.10 Решение ключевого уравнения на случай ошибок и стираний
7.11 Коды РС и построение каскадных кодов
7.12 Задачи к главе 7
8 Сводка границ
8.1 Верхние границы
8.2 Нижняя граница
8.3 Асимптотические границы
9 Регистры сдвига
9.1 Элементарные устройства
9.2 Вычисления в полях Галуа
9.3 Умножение и деление многочленов
9.4 Линейные рекуррентные соотношения
9.5 Схемы умножения на константу поля Галуа
9.6 Мажоритарное декодирование циклического кода
9.7 Задачи к главе 9
10 Указания к решению задач
10.1 К главе 1
10.2 К главе 2
10.3 К главе 3
10.4 К главе 4
10.5 К главе 5
10.6 К главе 6
10.7 К главе 7
Канонические разложения некоторых чисел
Неприводимые многочлены
Литература
Предметный указатель.