Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов с помощью смешанных гауссовских моделей, Королев В.Ю., 2008

Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов с помощью смешанных гауссовских моделей, Королев В.Ю., 2008.
  Главную роль в данной работе будут играть специальные модели хаотических стохастических процессов, прежде всего, процессов, описывающих эволюцию финансовых индексов, и процессов, наблюдаемых в турбулентных потоках.
Все предлагаемые и описываемые в данной книге модели и методы могут быть использованы не только при анализе процессов, характеризующих эволюцию финансово-экономических показателей. Они также применимы в других областях, где рассматриваются процессы с хаотическим и/или непредсказуемым поведением.

Обобщенные процессы Кокса.
В основе конструкции базовых математических моделей неоднородных хаотических процессов, рассматриваемых в этой книге, лежит асимптотическая схема, основанная на принципе, который может быть наглядно проиллюстрирован на примере простейшей задачи из теории измерений (см., например, (Romanowski, 1979), (Новицкий и Зограф, 1991)). Погрешность измерения является результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим, и потому, согласно центральной предельной теореме, должна иметь нормальное распределение. Однако на разные измерения воздействует, вообще говоря, разное число случайных факторов, то есть число случайных факторов, определяющих погрешность, само является случайным фактором. Поэтому вместо классической центральной предельной теоремы здесь более уместно пользоваться предельными теоремами для сумм случайного числа независимых случайных величин.
Теория случайного суммирования довольно хорошо развита (см., например, монографии (Круглов и Королев, 1990), (Gnedenko and Korolev, 1996), (Bening and Korolev, 2002)). He ставя перед собой цели привести результаты этой теории во всей полноте, сосредоточимся лишь на очень частном конкретном варианте постановки задачи, когда число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Этот случай имеет чрезвычайно важное практическое значение.
Содержание
Введение
1. Теоретические основы негауссовых вероятностных моделей хаотических процессов
1.1. Случайные блуждания с дискретным временем
1.2. Однородные случайные блуждания с непрерывным временем
1.3. Неоднородные случайные блуждания, порождаемые обобщенными дважды стохастическими пуассоновскими процессами (обобщенными процессами Кокса)
1.3.1. Процессы Кокса: определения и примеры
1.3.2. Обобщенные процессы Кокса
1.3.3. Центральная предельная теорема для обобщенных процессов Кокса
1.3.4. Сходимость распределений обобщенных процессов Кокса к устойчивым законам
1.3.5. Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов Кокса масштабными смесями нормальных законов
1.3.6. Закон больших чисел для обобщенных процессов Кокса
2. Моделирование распределений приращений финансовых индексов смесями нормальных законов
2.1. Неоднородность операционного времени и нормальные смеси
2.2. Неоднородный дискретный стохастический хаос и процессы Кокса
2.3. Островершинность масштабных смесей нормальных законов
2.4. Случай элементарных приращений с ненулевыми средними
2.5. Модели в рамках асимптотической схемы серий
2.6. От одномерных смешанных нормальных распределении к процессам Леви со случайным временем
2.6.1. Предварительные сведения. Процессы Леви. Пространство Скорохода
2.6.2. Функциональные предельные теоремы доя обобщенных процессов Кокса
2.6.3. Примеры предельных процессов
3. Некоторые свойства смесей нормальных законов
3.1. Основные определения
3.2. Идентифицируемость смесей вероятностных распределений
3.3. Устойчивость нормальных смесей относительно смешивающего распределения
3.3.1. Прямая задача
3.3.2. Обратная задача
3.4. Самоподобие смешанных гауссовских процессов
3.5. Сужение класса смешивающих законов. Масштабные смеси нормальных законов как результат симметризации
3.5.1. Сверточная модель симметризации
3.5.2. Рандомизационная модель симметризации
3.6. Взаимосвязь поведения хвостов масштабных смесей нормальных законов и соответствующих смешивающих распределений
3.6.1. Экспоненциальное убывание хвоста смеси
3.6.2. Экспоненциально-степенное убывание хвоста смеси
3.6.3. Степенное убывание хвоста смеси
4. Волатильность
4.1. Понятие волатильности
4.2. Возможные подходы к определению и интерпретации волатильности
4.2.1. Теоретико-вероятностные характеристики изменчивости случайного процесса
4.2.2. Историческая (статистическая) волатильность
4.2.3. Неявная (подразумеваемая) волатильность
4.2.4. Вариационная волатильность
4.2.5. Различные интерпретации волатильности
4.2.6. Волатильность и информация. “Структурные” и “временные” компоненты волатильности
4.3. Подход, основанный на модели смеси распределений вероятностей
4.3.1. Декомпозиция волатильности
4.3.2. Разложение классической волатильности на динамическую и диффузионную компоненты
4.3.3. Преобразование волатильности при временном скейлинге
4.3.4. Диффузионный спектр и предполагаемый диффузионный спектр
5. Статистическое разделение смесей вероятностных распределений
5.1. Общая схема решения задачи
5.2. Задача разделения смесей вероятностных распределений и методы ее решения
5.2.1. Задача разделения смесей вероятностных распределений
5.2.2. Метод моментов
5.2.3. Метод максимального правдоподобия
5.3. ЕМ-алгоритм и его применение к задаче оценивания неизвестных параметров смесей распределений вероятностей
5.3.1. Предварительные сведения
5.3.2. Общее описание ЕМ-алгоритма
5.3.3. Монотонность ЕМ-алгоритма
5.3.4. Проксимальные алгоритмы (РР-алгоритмы) и их свойства
5.3.5. ЕМ-алгоритм как проксимальный алгоритм
5.3.6. Неподвижные точки ЕМ-алгоритма и локальные максимумы функции правдоподобия
5.3.7. Решение задачи разделения смесей вероятностных распределений с помощью ЕМ-алгоритма
5.3.8. Разделение конечных смесей нормальных распределений с помощью ЕМ-алгоритма
5.3.9. Выбор начальных приближений для ЕМ-алгоритма
5.3.10. Правила остановки ЕМ-алгоритма
5.4. Модификации ЕМ-алгоритма
5.4.1. Медианные модификации ЕМ-алгоритма
5.4.2. SEM-алгоритм
5.4.3. СЕМ-алгоритм
5.4.4. МСЕМ и SAEM-алгоритмы
5.5. ЕМ-алгоритм с большим числом компонент как средство построения непараметрических оценок плотности
5.6. Разделение смесей многомерных нормальных распределений с помощью ЕМ-алгоритма
5.7. Приближенное разделение конечных смесей с помощью метода фиксированных компонент для выбора начального приближения ЕМ-алгоритма
5.7.1. Основная идея метода фиксированных компонент
5.7.2. Разделение конечных смесей вероятностных распределений с фиксированными компонентами при помощи метода наименьших квадратов
5.7.3. Разделение конечных смесей вероятностных распределений с фиксированными компонентами при помощи метода наименьших модулей
5.7.4. Разделение конечных смесей вероятностных распределений с фиксированными компонентами при помощи “усеченного” ЕМ-алгоритма
5.7.5. Разделение конечных смесей вероятностных распределений с фиксированными компонентами при помощи байесовской классификации
5.8. Выбор модели (определение типа и числа компонент смеси)
5.8.1. Некоторые сведения из теории проверки сложных статистических гипотез
5.8.2. Проверка значимости динамической составляющей волатильности с помощью критерия отношения правдоподобия
5.8.3. “Последовательный” критерий отношения правдоподобия для определения числа компонент смеси
5.8.4. Определение числа компонент смеси с помощью SEM-алгоритма
5.8.5. Информационные критерии выбора модели (числа компонент и типа смеси)
5.9. Примеры применения ЕМ-алгоритма в “статическом” режиме
6. Скользящее (динамическое) разделение смесей вероятностных распределений. CPC-метод: описание и практическое применение
6.1. Общая идея метода скользящего разделения смесей
6.2. Оценивание предполагаемого диффузионного спектра с помощью СРС-метода
6.3. СРС-метод с оцениванием значений компонент волатильности
6.3.1. Критерий остановки
6.3.2. Зависимость CPC-метода от выбора начальных приближений
6.3.3. Визуализация результатов
6.3.4. CPC-метод с ядерными оценками компонент волатильности
6.3.5. О влиянии ширины окна на результат применения СРС-метода
6.3.6. О влиянии масштаба (длины интервала времени между наблюдениями) на результат применения СРС-метода
6.3.7. Промежуточные итоги
6.4. CPC-метод с фиксированными значениями компонент волатильности
6.4.1. Основная идея СРС-метода с фиксированными значениями компонент волатильности
6.4.2. Дискретизация пространства компонент волатильности
6.4.3. Сравнительная эффективность СРС-метода с фиксированными значениями компонент волатильности
6.4.4. Сравнение версий СРС-метода с оцениваемыми и фиксированными значениями компонент волатильности
6.4.5. Эффект “насыщения” (эффект “достаточности” числа компонент) масштабных смесей, оцененных CPC-методом. Еще раз о том, что такое волатильность
6.5. CPC-метод с оцениванием диффузионных и динамической компонент волатильности
6.6. Исследование динамики корреляционной структуры хаотических стохастических процессов с помощью скользящего разделения смесей многомерных наблюдений
6.7. Примеры применения СРС-метода к анализу влияния информационных интервенций на состояние финансовых рынков
6.7.1. Взрывы в лондонском метро в июле 2005 года
6.7.2. Падение российского рынка в период с февраля но март 2007 года
6.7.3. События в США 11 сентября 2001 года
7. Применение CPC-метода к изучению турбулентности
7.1. Гидродинамическая и плазменная турбулентность
7.2. Феноменология турбулентности. Перемежаемость
7.3. Параметрические смешанные гауссовские модели турбулентности
7.4. “Статическая” подгонка смесей нормальных законов к эмпирическим распределениям. полученным в экспериментах с турбулентной плазмой
7.5. Результаты применения метода скользящего разделения смесей
Список литературы
Иллюстрации.