Вариационное исчисление и оптимальное управление, Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н., 2006

Вариационное исчисление и оптимальное управление, Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н., 2006.
  Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления рассмотрены прямые методы вариационного исчисления и методы преобразования вариационных задач, приводящие, в частности, к двойственным вариационным принципам. Учебник завершают примеры из физики, механики и техники, в которых показана эффективность методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения прикладных задач.
Для студентов и аспирантов технических университетов, а также для инженеров и научных работников, специализирующихся в области прикладной математики и математического моделирования.

Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления.
Приведенные выше примеры иллюстрируют тот круг задач, которые изучает вариационное исчисление. Можно сказать, что задача вариационного исчисления (или просто вариационная задача) — это задача поиска экстремума функционала, заданного на некотором множестве М функций, которые удовлетворяют определенным ограничениям. К вариационным задачам также относят задачи поиска точек в области определения функционала, в которых выполняется необходимое условие экстремума функционала, т.е. первая вариация функционала обращается в нуль (такие точки называют стационарными точками функционала).
В вариационном исчислении трудность при нахождении экстремума может возникнуть вследствие того, что область определения рассматриваемого функционала не является замкнутым множеством. В этом случае задача может не иметь решения. Такая трудность, естественно, не исключается и в конечномерном случае, когда ищется экстремум функции многих переменных. Но в бесконечномерном случае, когда область определения функционала есть бесконечномерное линейное пространство. условие замкнутости множества проверить гораздо труднее. Впрочем, вариационная задача может не иметь решения даже в том случае, когда область определения функционала является замкнутым множеством. В бесконечномерном нормированном пространстве не для всякого замкнутого ограниченного множества можно утверждать, что функция, непрерывная на этом множестве, ограничена и достигает максимального и минимального значений.
Оглавление
Предисловие
Основные обозначения
ЧАСТЬ I. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Основные понятия
1.1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам
1.2. Основные определения
1.3. Основные леммы вариационного исчисления
1.4. Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления
Вопросы и задачи
2. Вариационные задачи с фиксированными границами
2.1. Простейшая задача вариационного исчисления
2.2. Функционалы от нескольких функций
2.3. Функционалы с производными высшего порядка
2.4. Функционалы от функций многих переменных
2.5. Канонический вид уравнений Эйлера
Вопросы и задачи
3. Вариационные задачи с подвижными границами
3.1. Задача с подвижными концами
3.2. Задача с подвижными границами
3.3. Экстремали с угловыми точками
Вопросы и задачи
4. Задачи на условный экстремум
4.1. Основные типы задач на условный экстремум
4.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа
4.3. Необходимые условия в изопериметрической задаче
4.4. Некоторые примеры
4.5. Принцип взаимности в изопериметрических задачах
4.6. Задача Больца и задача Майера
Вопросы и задачи
5. Достаточные условия экстремума
5.1. Слабый экстремум
5.2. Условие Якоби
5.3. Инвариантный интеграл Гильберта
5.4. Сильный экстремум
Вопросы и задачи
ЧАСТЬ II. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
6. Вариационные методы в оптимальном управлении
6.1. Постановка задачи оптимального управления
6.2. Задача Лагранжа в форме Понтрягина
6.3. Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении
6.4. Линейные задачи оптимального управления
6.5. Обсуждение методов вариационного исчисления
Вопросы и задачи
7. Принцип максимума
7.1. Автономная система управления. Формулировка принципа максимума
7.2. Обсуждение принципа максимума
7.3. Задача быстродействия
7.4. Линейная задача оптимального быстродействия
7.5. Задача синтеза управления
7.6. Задача с подвижными концами
7.7. Неавтономные системы
7.8. Понятие особого управления
Вопросы и задачи
8. Метод динамического программирования
8.1. Принцип оптимальности
8.2. Уравнение Беллмана
8.3. Уравнение Беллмана в задаче быстродействия
8.4. Связь метода динамического программирования с принципом максимума
Д.8.1. Оптимальная стабилизация
Вопросы и задачи
ЧАСТЬ III. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
9. Формулировка вариационных задач
9.1. Операторное уравнение
9.2. Вариационное уравнение
9.3. Примеры построения функционала по вариационному уравнению
9.4. Исследование выпуклости функционала
Вопросы и задачи
10. Методы решения вариационных задач
10.1. Минимизирующие последовательности
10.2. Методы приближенного решения вариационных задач
10.3. Собственные значения симметрического оператора
10.4. Приближенное решение задачи на собственные значения
Вопросы и задачи
11. Двойственные вариационные задачи
11.1. Альтернативные функционалы
11.2. Построение альтернативного функционала
11.3. Оценка погрешности приближенного решения
Вопросы и задачи
ЧАСТЬ IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
12. Принцип Гамильтона
13. Колебания струны
14. Колебания мембраны
15. Уравнения движения идеальной жидкости
16. Аэродинамическая задача Ньютона
17. Вопросы устойчивости конструкций
18. Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно
19. Вариационные принципы термоупругости
20. Двусторонние оценки в теплопроводности
Список рекомендуемой литературы.