Теория вероятностей в задачах и упражнениях, Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., 2008

Теория вероятностей в задачах и упражнениях, Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., 2008.
  Учебное пособие содержит задачи по всем разделам теории вероятностей, изучаемым в технических университетах и институтах, а также решения наиболее важных задач; практически ко всем задачам приведены ответы, а к некоторым задачам — указания по их решению.
Для студентов технических специальностей.

Примеры.
Деревянный кубик с окрашенными гранями распиливается на 125 равных кубиков, из которых затем наугад выбирается один кубик. Какова вероятность того, что он будет содержать:
а) ровно одну окрашенную грань;
б) ровно две окрашенные грани;
в) ровно три окрашенные грани;
г) хотя бы одну окрашенную грань;
д) хотя бы одну неокрашенную грань?
Натуральное число назовем «хорошим», если цифры в десятичной записи этого числа следуют в порядке возрастания. Например, числа 123 и 1689 — «хорошие»; число 132 к «хорошим» не относится. Какова вероятность того, что число, выбранное наугад из всех пятизначных натуральных чисел, окажется «хорошим»?
Из всех треугольников, приведенных на рис. 1.8, наугад выбирается один треугольник. Какова вероятность того, что это будет:
а) равнобедренный треугольник;
б) остроугольный треугольник?
Оглавление
Предисловие 7
Глава I. Случайные события 9
§1. Классическая схема теории вероятностей 9
Основные соглашения 9
Простейшие задачи 10
Перестановки в классической схеме теории вероятностей 13
Размещения в классической схеме теории вероятностей 16
Сочетания в классической схеме теории вероятностей 19
Примеры из статистической физики 26
Симметрия в классической схеме теории вероятностей 27
Условная вероятность в классической схеме теории вероятностей 28
Геометрические вероятности 30
Разные задачи 32
§2. Аксиоматика теории вероятностей 36
Множества и операции над ними 36
Алгебра случайных событий 37
Вероятность случайного события 39
Вероятностное пространство 39
Дискретное вероятностное пространство 40
Основные свойства вероятности 42
§3. Формулы сложения и умножения вероятностей 45
Формула сложения вероятностей 45
Оценка снизу для вероятности произведения событий 50
Формула умножения вероятностей 52
Независимые события 55
Примеры совместного использования формул сложения и умножения вероятностей 61
Расчет надежности простейших схем 67
Разные задачи 70
§4. Формула полной вероятности; формула Байеса 75
Простейшие задачи 75
Примеры специального выбора гипотез 85
Разные задачи 87
§5. Схема Бернулли; полиномиальная схема 90
Формула Бернулли 90
Число испытаний до к-го успеха 98
Полиномиальная формула 99
Разные задачи 102
Глава II. Случайные величины 104
§6 Дискретные случайные величины 104
Случайная величина и ее функция распределения 104
Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами 107
Равномерное распределение на конечном множестве 115
Распределение Бернулли 117
Вг (n, р) — биномиальное распределение с параметрами пир 121
G (p) — геометрическое распределение с параметром р 124
Энтропия дискретного распределения 128
Разные задачи 131
§7. Предельные теоремы в схеме Бернулли 137
Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения 137
Пуассоновский поток событий 140
Нормальная аппроксимация биномиального распределения 145
Разные задачи 152
§8. Непрерывные случайные величины 154
Общие теоретические положения 154
R (a, b) — равномерное распределение в интервале (а,b) 158
Е (?) — экспоненциальное (показательное) распределение с параметром 165
N (u, ?2) — нормальное (гауссовское) распределение с параметрами 168
Функциональные преобразования непрерывных случайных величин 176
Логарифмически нормальное распределение 177
Распределение Коши 179
Энтропия абсолютно непрерывного распределения вероятностей 180
Разные задачи 183
§9. Сметанные задачи на случайные величины 187
Определение математического ожидания 187
Неравенства Чебышева 189
Еще несколько важных неравенств 192
Геометрическая интерпретация математического ожидания 194
Несколько примеров из теории надежности 197
Примеры исследования разрывных распределений 201
Асимметрия и эксцесс распределения вероятностей 205
Моделирование случайных величин 207
Разные задачи 209
Глава III. Многомерные распределения вероятностей 213
§10. Дискретные двумерные распределения вероятностей 213
Общие понятия, связанные с двумерными случайными векторами 213
Дискретные распределения вероятностей в R2 218
Формула полного математического ожидания 227
Энтропия и информация 231
Разные задачи 233
§11. Непрерывные двумерные распределения вероятностей 236
Общие понятия, связанные с двумерным абсолютно непрерывным распределением вероятностей 236
Примеры исследования двумерных непрерывных распределений вероятностей 240
Вероятность попадания случайной точки в заданную область 244
Функциональные преобразования случайных векторов 247
Суммирование независимых случайных величин 253
Мультипликативное свойство математического ожидания 256
Энтропия и информация 258
Разные задачи 259
§12. Распределения вероятностей в Rn 264
Общие понятия 264
Абсолютно непрерывное распределение вероятностей в Rn 271
Мультипликативное свойство математического ожидания 276
Вариационный ряд 278
Линейное преобразование случайного вектора к вектору с попарно некоррелированными составляющими 280
Разные задачи 285
§13. Характеристические функции 288
Определение и простейшие свойства 288
Дифференцирование характеристических функций 295
Метод характеристических функций 297
Конструирование характеристических функций 303
Некоторые специальные свойства характеристических функций 308
Характеристические функции случайных векторов 310
Разные задачи 311
§14. Многомерное нормальное распределение вероятностей 315
Определение и простейшие свойства нормального распределения вероятностей в Rn 315
Двумерное нормальное распределение вероятностей 325
Количество информации об одной случайной величине, содержащейся в другой случайной величине 334
Теорема о нормальной корреляции в R2 336
Теорема о нормальной корреляции в Rn 338
Линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора к вектору с независимыми составляющими 339
Линейное преобразование одного многомерного нормального распределения вероятностей в другое 344
Моделирование многомерного нормального распределения вероятностей 346
Линейные и квадратичные формы от нормальных случайных величин 348
Вырожденное нормальное распределение вероятностей 354
Разные задачи 356
Глава IV. Предельные теоремы теории вероятностей 363
§15. Виды вероятностной сходимости 363
Сходимость по вероятности и сходимость почти наверное (с вероятностью 1) 363
Сходимость в среднем 375
Сходимость по распределению (слабая сходимость) 378
Асимптотически нормальные случайные величины 390
Переход к пределу под знаком математического ожидания 393
Разные задачи 399
§16. Основные предельные теоремы 402
Закон больших чисел 402
Метод урезания 406
Усиленный закон больших чисел 409
Центральная предельная теорема 411
Вычисление интегралов методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) 417
Задачи из классического анализа 419
Разные задачи 420
Приложение 423
Элементы комбинаторики 423
Таблицы 437
1 Таблица распределения Пуассона 437
2 Таблица значений функции ф(х) 438
3 Таблица значений функции Лапласа 439
4 Псевдослучайные числа с равномерным распределением в интервале (0,1) 440
5 Псевдослучайные числа со стандартным нормальным распределением 441
Ответы и указания 442
Предметный указатель 471
Литература.