Теория вероятностей и математическая статистика в задачах, Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., 2005

Теория вероятностей и математическая статистика в задачах, Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., 2005.
  Материал пособия соответствует программе курса по теории вероятностей и математической статистике для студентов высших учебных заведений и отвечает современному уровню этих дисциплин.
Изложение ведется последовательно в соответствии с рядом основных вероятностных моделей, причем различные главы можно использовать практически изолированно. Такой подход позволяет задавать в данной модели вероятность в явном виде, не излагая аксиоматические основы теории вероятностей.
Для каждой модели приведены краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Среди прикладных задач имеются задачи по теории страхования и экономике.
Для студентов, преподавателей ВУЗов и всех, кто хочет быстро научиться решать стандартные задачи по курсу теории вероятностей и математической статистике.

Примеры.
Из двух претендентов Е и L на ответственную должность три члена комиссии должны отобрать одного. Каждый член комиссии должен указать либо одного достойного, либо забраковать обоих. Претендент считается выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии. Найти вероятности событий:
А = {рекомендован L}, В = {рекомендован Е}.
В ящике 10 одинаковых карточек, на которых по одной написаны цифры 0, 1, ..., 9. Два раза с возвращением вынимают по одной карточке. Найти вероятности событий:
А = {на вынутых карточках появились цифры 0, 0},
В = {на второй карточке появилась цифра 9},
С = {ни на одной вынутой карточке не было цифры 5},
D = {появилась хотя бы одна 1}.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Классическая вероятностная модель 7
§ 1. Определение вероятности. События 7
§ 2. Вероятность суммы событий 9
§ 3. Случайные величины 12
§ 4. Математическое ожидание 15
Глава 2. Простейшие вероятностные модели 18
§ 1. Условные вероятности 18
§ 2. Независимость событий 21
Глава 3. Вероятностные модели с усреднением вероятностен 24
§ 1. Формула полной вероятности 24
§ 2. Формулы Байеса 26
Глава 4. Урновые схемы 28
§ 1. Вероятность произведения событий 28
§ 2. Две модели случайного выбора 30
§ 3. Более общие модели случайного выбора 36
Глава 5. Вероятностные модели с конечным числом исходов 38
§ 1. Определение вероятности. Случайные величины 38
§ 2. Математическое ожидание 41
§ 3. Дисперсия. Неравенство Чебышёва 45
§ 4. Ковариация. Коэффициент корреляции 48
Глава 6. Схема Бернулли 51
§ 1. Определение вероятности 51
§ 2. Вероятность заданного числа успехов 53
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия 55
§ 4. Закон больших чисел 56
§ 5. Теорема Пуассона 57
§ 6. Теорема Муавра — Лапласа 59
§ 7. Задачи из теории страхования 64
Глава 7. Полиномнальная схема 69
§ 1. Определение вероятности 69
§ 2. Вероятность заданного набора исходов 70
§ 3. Математическое ожидание, дисперсия и ковариация 73
Глава 8. Цепа Маркова 75
§ 1. Определение 75
§ 2. Марковское свойство 79
§ 3. Уравнения Колмогорова 83
§ 4. Предельные вероятности 84
§ 5. Математическое ожидание и дисперсия. Закон больших чисел 89
§ 6. Предельная теорема для времени пребывания в состоянии 93
Глава 9. Геометрические вероятности 95
§ 1. Определение вероятности 95
§ 2. Случайные величины 99
§ 3. Функция распределения и плотность распределения вероятностей 100
§ 4. Математическое ожидание. Дисперсия 102
§ 5. Ковариация. Независимость случайных величин 105
Глава 10. Дискретные случайные величины 109
§ 1. Закон распределения 109
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия 112
§ 3. Закон распределения функции от случайной величины 114
§ 4. Математическое ожидание и дисперсия функций от случайной величины 115
§ 5. Производящая функция 117
Глава 11. Абсолютно непрерывные случайные величины 119
§ 1. Функция распределения и плотность распределения вероятностей 119
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия 123
§ 3. Закон распределения функции от случайной величины 124
§ 4. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины 127
Глава 12. Двумерные дискретные случайные величины 129
§ 1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Независимость 129
§ 2. Закон распределения функции от случайной величины 137
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины. Ковариация 142
§ 4. Условные распределения случайной величины. Условное математическое ожидание 146
Глава 13. Двумерные абсолютно непрерывные случайные величины 151
§ 1. Двумерные плотности распределения. Независимость 151
§ 2. Закон распределения функций от случайных величин 160
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайных величин. Ковариация и корреляция 169
§ 4. Условные плотности распределения. Условные математические ожидания 178
Глава 14. Случайные последовательности 181
§ 1. Закон больших чисел 181
§ 2. Центральная предельная теорема 183
Глава 15. Первичная обработка экспериментальных данных 187
§ 1. Задачи математической статистики 187
§ 2. Выборка 189
§ 3. Эмпирическая функция распределения 192
§ 4. Полигон частот, гистограмма 197
§ 5. Выборочные моменты и квантили 204
§ 6. Выборочный коэффициент корреляции 210
Глава 16. Теория оценок 212
§ 1. Оценки, их состоятельность и несмещенность 212
§ 2. Среднеквадратическая ошибка и эффективность оценки 218
§ 3. Метод максимального правдоподобия 223
§ 4. Метод моментов 231
§ 5. Доверительные интервалы 232
Глава 17. Статистическая проверка гипотез 249
§ 1. Постановка задачи 249
§ 2. Наиболее мощный критерий 253
§ 3. Сложные гипотезы 260
§ 4. Проверка гипотез и доверительное оценивание 264
§ 5. Статистические критерии согласия. Критерий «хи-квадрат» Пирсона 266
§ 6. Критерий согласия «хи-квадрат» при неизвестных параметрах распределения 270
§ 7. Критерий согласия Колмогорова 275
§ 8. Критерий независимости «хи-квадрат» 276
§ 9. Критерий однородности данных 280
Глава 18. Ранговые критерии 283
§ 1. Критерий знаков 283
§ 2. Критерий Вилкоксона для проверки однородности двух выборок 288
§ 3. Ранговая корреляция по Спирмену 295
Глава 19. Метод наименьших квадратов н регрессия 303
§ 1. Метод наименьших квадратов для простой линейной регрессии 303
§ 2. Проверка статистических гипотез о параметрах простой линейной регрессии 309
Таблицы 312
Литература 322.