Теория вероятностей и математическая статистика в задачах - Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П.

Название: Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. 2003.
Автор: Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П.
    Материал пособия соответствует программе курса по теории вероятностей и математической статистике для студентов высших учебных заведений и отвечает современному уровню этих дисциплин.
Изложение ведется последовательно в соответствии с рядом основных вероятностных моделей, причем различные главы можно использовать практически изолированно. Такой подход позволяет задавать в данной модели вероятность в явном виде, не излагая аксиоматические основы теории вероятностей.
Для каждой модели приведены краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Среди прикладных задач имеются задачи по теории страхования и экономике.
Для студентов, преподавателей ВУЗов и всех, кто хочет быстро научиться решать стандартные задачи по курсу теории вероятностей и математической статистике.
    На сегодняшний день ВУЗы, в которых теория вероятностей изучается систематически и рассматривается как строгая математическая дисциплина, достаточно хорошо обеспечены соответствующими учебными пособиями и учебниками.Однако для целого ряда институтов и университетов фундаментальное изучение теории вероятностей не целесообразно, поскольку их выпускники породу своей прикладной деятельности лишь изредка встречаются с ситуациями, требующими решения вероятностных задач. Более того, решение такого рода задач весьма часто сводится к применению простейших вероятностных утверждений. Понятно, что в этих вузах систематическое изучение теории вероятностей и математической статистики разумно заменить ознакомлением с основными понятиями этих дисциплин.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Классическая вероятностная модель 7
§ 1. Определение вероятности. События 7
§ 2. Вероятность суммы событий 9
§ 3. Случайные величины 12
§ 4. Математическое ожидание 15
Глава 2. Простейшие вероятностные модели 18
§ 1. Условные вероятности 18
§ 2. Независимость событий 21
Глава 3. Вероятностные модели с усреднением вероятностен 24
§ 1. Формула полной вероятности 24
§ 2. Формулы Байеса 26
Глава 4. Урновые схемы 28
§ 1. Вероятность произведения событий 28
§ 2. Две модели случайного выбора 30
§ 3. Более общие модели случайного выбора 36
Глава 5. Вероятностные модели с конечным числом исходов 38
§ 1. Определение вероятности. Случайные величины 38
§ 2. Математическое ожидание 41
§ 3. Дисперсия. Неравенство Чебышёва 45
§ 4. Ковариация. Коэффициент корреляции 48
Глава 6. Схема Бернулли 51
§ 1. Определение вероятности 51
§ 2. Вероятность заданного числа успехов 53
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия 55
§ 4. Закон больших чисел 56
§ 5. Теорема Пуассона 57
§ 6. Теорема Муавра — Лапласа 59
§ 7. Задачи из теории страхования 64
Глава 7. Полиномнальная схема 69
§ 1. Определение вероятности 69
§ 2. Вероятность заданного набора исходов 70
§ 3. Математическое ожидание, дисперсия и ковариация 73
Глава 8. Цепа Маркова 75
§ 1. Определение 75
§ 2. Марковское свойство 79
§ 3. Уравнения Колмогорова 83
§ 4. Предельные вероятности 84
§ 5. Математическое ожидание и дисперсия. Закон больших чисел 89
§ 6. Предельная теорема для времени пребывания в состоянии 93
Глава 9. Геометрические вероятности 95
§ 1. Определение вероятности 95
§ 2. Случайные величины 99
§ 3. Функция распределения и плотность распределения вероятностей 100
§ 4. Математическое ожидание. Дисперсия 102
§ 5. Ковариация. Независимость случайных величин 105
Глава 10. Дискретные случайные величины 109
§ 1. Закон распределения 109
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия 112
§ 3. Закон распределения функции от случайной величины 114
§ 4. Математическое ожидание и дисперсия функций от случайной величины 115
§ 5. Производящая функция 117
Глава 11. Абсолютно непрерывные случайные величины 119
§ 1. Функция распределения и плотность распределения вероятностей 119
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия 123
§ 3. Закон распределения функции от случайной величины 124
§ 4. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины 127
Глава 12. Двумерные дискретные случайные величины 129
§ 1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Независимость 129
§ 2. Закон распределения функции от случайной величины 137
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины. Ковариация 142
§ 4. Условные распределения случайной величины. Условное математическое ожидание 146
Глава 13. Двумерные абсолютно непрерывные случайные величины 151
§ 1. Двумерные плотности распределения. Независимость 151
§ 2. Закон распределения функций от случайных величин 160
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайных величин. Ковариация и корреляция 169
§ 4. Условные плотности распределения. Условные математические ожидания 178
Глава 14. Случайные последовательности 181
§ 1. Закон больших чисел 181
§ 2. Центральная предельная теорема 183
Глава 15. Первичная обработка экспериментальных данных 187
§ 1. Задачи математической статистики 187
§ 2. Выборка 189
§ 3. Эмпирическая функция распределения 192
§ 4. Полигон частот, гистограмма 197
§ 5. Выборочные моменты и квантили 204
§ 6. Выборочный коэффициент корреляции 210
Глава 16. Теория оценок 212
§ 1. Оценки, их состоятельность и несмещенность 212
§ 2. Среднеквадратическая ошибка и эффективность оценки 218
§ 3. Метод максимального правдоподобия 223
§ 4. Метод моментов 231
§ 5. Доверительные интервалы 232
Глава 17. Статистическая проверка гипотез 249
§ 1. Постановка задачи 249
§ 2. Наиболее мощный критерий 253
§ 3. Сложные гипотезы 260
§ 4. Проверка гипотез и доверительное оценивание 264
§ 5. Статистические критерии согласия. Критерий «хи-квадрат» Пирсона 266
§ 6. Критерий согласия «хи-квадрат» при неизвестных параметрах распределения 270
§ 7. Критерий согласия Колмогорова 275
§ 8. Критерий независимости «хи-квадрат» 276
§ 9. Критерий однородности данных 280
Глава 18. Ранговые критерии 283
§ 1. Критерий знаков 283
§ 2. Критерий Вилкоксона для проверки однородности двух выборок 288
§ 3. Ранговая корреляция по Спирмену 295
Глава 19. Метод наименьших квадратов н регрессия 303
§ I. Метод наименьших квадратов для простой линейной регрессии 303
§ 2. Проверка статистических гипотез о параметрах простой линейной регрессии 309
Таблицы 312
Литература 322