Теория вероятностей и математическая статистика, Лисьев В.П., 2006

Теория вероятностей и математическая статистика, Лисьев В.П., 2006.
   Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является составной частью цикла математических дисциплин, составляющих фундамент математического образования специалиста. В любой области человеческой деятельности имеют место случайные явления, которые не позволяют осуществить точный прогноз результатов этой деятельности. Теория вероятностей и математическая статистика изучают закономерности случайных явлений. Знание этих закономерностей помогает принимать решения в условиях неопределённости, направленные на достижение поставленных целей.
Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является основой для изучения последующих дисциплин, таких как «Эконометрика», «Статистические методы прогнозирования», «Исследование операций», «Методы оптимизации», «Теория массового обслуживания», «Теория восстановлений», «Основы актуарных расчётов» и т.д.
   Весь курс разбит на 10 тем. Лекционные занятия рекомендуется проводить по 9 темам, причём темы 4 и 5 можно объединить для того, чтобы получилось 8 обзорных лекций при семнадцати недельном семестре. Каждой обзорной лекции соответствуют два практических занятия, индивидуальные задания по теме, одна аудиторная консультация или консультация в режиме «On-line». Желательно также но каждой теме предусмотреть тест типа «Самопроверка». По 10-й теме «Применение ЭВМ» проводится только практическое занятие непосредственно в компьютерных классах. Рекомендуется проводить один промежуточный экзамен для проведения текущей аттестации и один итоговый экзамен. Экзамены рекомендуется проводить по тестам, в которые можно включить часть вопросов из тестов, предназначенных для самопроверки. В любом случае в экзаменационных тестах должны быть представлены все темы курса. Перед экзаменами рекомендуется проводить как аудиторную консультацию, так и консультацию по компьютерной сети, например в режиме «Чат», если имеется соответствующее техническое обеспечение.
Содержание
Сведения об авторе 5
Общие сведения о дисциплине 5
Цель и задачи дисциплины 6
Рекомендации по изучению дисциплины 7
1. Случайные события 9
1.1. События. Пространство элементарных событий 10
1.2. Элементы комбинаторного анализа 11
1.3. Отношения между событиями 13
1.4. Вероятность события 14
1.5. Простейшие свойства вероятности 16
1.6. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Зависимые и независимые события 18
1.7. Формула сложения вероятностей 19
1.8. Формула полной вероятности и формула Байеса 20
1.9. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли 21
1.10. Асимптотические приближения формулы Бернулли 23
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 25
2. Случайные величины 27
2.1. Определение, классификация, способы задания случайных величин 28
2.2. Функция распределения вероятностей и её свойства 29
2.3. Плотность распределения вероятностей и её свойства 31
2.4. Функция случайной величины. Математическое ожидание 33
2.5. Числовые характеристики случайных величин 35
2.6. Квантили, квартили и вероятное отклонение 40
2.7. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс 41
2.8. Производящие функции 43
2.9. Примеры дискретных законов распределения 45
2.10. Примеры непрерывных распределений 46
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 53
3. Многомерные случайные величины 55
3.1. Определение многомерных случайных величин 56
3.2. Функция распределения вероятностей двухмерной случайной величины 57
3.3. Плотность распределения вероятностей двухмерной случайной величины 60
3.4. Условные законы распределения. Статистическая зависимость 62
3.5. Числовые характеристики многомерных случайных величин. Ковариационный момент и коэффициент корреляции 64
3.6. Условные числовые характеристики. Линии регрессии. Корреляционное отношение 68
3.7. Двухмерное нормальное распределение 71
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 75
4. Функциональные преобразования случайных величин 77
4.1. Функция одной случайной величины 78
4.2. Функция нескольких случайных величин 79
4.3. Теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях 80
4.4. Некоторые специальные законы распределения 81
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 83
5. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема 85
5.1. Предварительные замечания 86
5.2. Неравенство Чебышева 86
5.3. Теорема Чебышева 88
5.4. Теорема Бернулли 89
5.5. Центральная предельная теорема 90
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 91
6. Статистическая обработка экспериментальных данных. Оценка параметров 93
6.1. Задачи математической статистики 94
6.2. Выборка. Вариационный ряд. Эмпирические законы распределения 95
6.3. Эмпирические числовые характеристики 98
6.4. Точечные оценки параметров. Свойства эмпирических характеристик 101
6.5. Доверительные интервалы. Общие определения 105
6.6. Доверительные интервалы параметров нормального распределения 106
6.7. Построение доверительного интервала для вероятности события 111
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 114
7. Проверка статистических гипотез 115
7.1. Общие положения 116
7.2. Проверка гипотез о параметрах распределений 117
7.3. Критерий квантилей 119
7.4. Проверка гипотез о распределениях 120
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 124
8. Дисперсионный анализ 125
8.1. Постановка задачи дисперсионного анализа 126
8.2. Однофакторный дисперсионный анализ 127
8.3. Двухфакторный дисперсионный анализ 129
8.4. Трёхфакторный дисперсионный анализ. План «латинский квадрат» 131
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 133
9. Регрессионный анализ 135
9.1. Постановка и схема решения задачи регрессионного анализа 136
9.2. Одномерный линейный регрессионный анализ 139
9.3. Многомерный линейный регрессионный анализ 142
9.4. Одномерный нелинейный регрессионный анализ 144
Контрольные вопросы и вопросы для обсуждения 146
10. Применение ЭВМ 147
10.1. Общие замечания 148
10.2. Средства решения статистических задач в пакете MathCAD 148
10.3. Решение статистических задач в среде Microsoft Excel 149
Практикум 152
Список используемой литературы 199