Теория случайных процессов, Том 3, Гихман И.И., Скороход А.В., 1975

Теория случайных процессов, Том 3, Гихман И.И., Скороход А.В., 1975.
   В третьем томе монографии излагается теория мартингалов, стохастических интегралов, стохастических дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено связи между стохастическими дифференциальными уравнениями и процессами Маркова.
Рассматриваются предельные теоремы для стохастических дифференциальных уравнений и последовательностей серий случайных векторов.

Процессы Ито.
При изучении решений стохастических дифференциальных уравнений нам уже приходилось сталкиваться с процессами, имеющими стохастический дифференциал Ито, т. е. представимых с помощью стохастических интегралов по винеровскому процессу. Такие процессы получили название процессов Ито; в этом параграфе будут рассмотрены их основные свойства.
Определение и некоторые свойства. Будем считать фиксированным некоторое вероятностное пространство {Q, U, Р} и поток o-алгебр {&t, t>0}) в этом пространстве. Пусть w (t) — винеровский процесс на этом пространстве со значениями в Rm, подчиненный с потоком это значит, что w (t) является &t-измеримой величиной, a w (s) — w (t) при s > t в совокупности не зависят от o-алгебры &t. Через M1 [0, Т] обозначим множество измеримых функций f (s, w), которые для всех s € [0, Т] &s-измеримы как функции от w.
Оглавление
Предисловие
Глава I Мартингалы и стохастические интегралы
§1. Мартингалы и их обобщения 7
Обзор предыдущих результатов (7). Квазимартингалы (12) Остановка и случайная замена времени (17). Теорема о разложении супермартингалов (24). Обобщения теоремы Мейера (38). Регулярные супермартингалы (41). Квадратично интегрируемые мартингалы (50). Локальные квадратично интегрируемые мартингалы (54). Мартингалы с непрерывными характеристиками (56).
§2. Стохастические интегралы 65
Интегрирование кусочно-постоянных функций (65). Стохастический интеграл в смысле сходимости в среднем квадратичном (72). Общее определение стохастического интеграла по мартингалу (76). Интегрирование по локальным квадратично интегрируемым мартингалам (82). Векторные- стохастические интегралы (84). Стохастические интегралы по мартингальным мерам (85).
§3. Формула Ито 91
Формула Ито для непрерывных процессов (92). Стохастические дифференциалы (99). Некоторые применения формулы Ито (101). Оценки моментов непрерывных мартингалов (103). Представление мартингалов с помощью стохастического интеграла по винеровской мере (106). Разложение локального квадратично интегрируемого мартингала на непрерывную и разрывную компоненты (115). Стохастические дифференциалы функций от разрывных мартингалов (128). Обобщенная формула Ито (139). Некоторые следствия обобщенной формулы Ито. Обобщение теоремы Леви (144). Оценка моментов интегралов по мартингальной мере (147). Решение простейшего стохастического дифференциального уравнения (150). Пример. Мультипликативное разложение положительного супермартингала (152).
Глава II Стохастические дифференциальные уравнения
§1. Общие вопросы теории стохастических дифференциальных уравнений 154
Стохастический криволинейный интеграл (161). Стохастический криволинейный интеграл как функция верхнего предела интегрирования (174). Теоремы существования и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений (180). Оценки моментов решений стохастических дифференциальных уравнений (197). Непрерывная зависимость решений стохастических уравнений от параметра (203). Конечно-разностные аппроксимации решения стохастического уравнения (207).
§2. Стохастические дифференциальные уравнения без последействия 211
Решение стохастического дифференциального уравнения без последействия как марковский процесс (211). Дифференцируемость по начальным данным решений стохастических уравнений (224). Уравнение А. Н. Колмогорова (234). Пример. Распределение аддитивного функционала от винеровского процесса (243).
§3. Предельные теоремы для последовательностей серий случайных величин и стохастические дифференциальные уравнения 247
О слабой компактности мер в D, соответствующих последовательности серий случайных величин (249). Условия сходимости к винеровскому процессу (257). Условия сходимости к произвольному процессу с независимыми приращениями (264). Предельные теоремы для последовательностей серий случайных векторов с конечными моментами второго порядка (267). Предельные теоремы для стохастических дифференциальных уравнений (276). Пример. Колебания с малой нелинейностью (286).
Глава III Стохастические дифференциальные уравнения для непрерывных процессов и непрерывные марковские процессы в Rm
§1. Процессы Ито 291
Определение и некоторые свойства (291). Пространство Ито (300). Процессы Ито и процессы диффузионного типа (321). Абсолютно непрерывная замена меры (329).
§2. Стохастические дифференциальные уравнения для процессов диффузионного типа 339
О мерах, соответствующих решениям уравнения (1) (341). О существовании решений стохастических дифференциальных уравнений (351). Единственность решения (358). Процессы Ито и стохастические дифференциальные уравнения (367).
§3. Диффузионные процессы в Rm 370
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих диффузионным процессам (371). Существование решения (381). Единственность решения (395). Непрерывная зависимость решения от параметров (397). Однородные диффузионные процессы (405). Однородные процессы с интегрируемым ядром потенциала (409).
§4. Непрерывные однородные марковские процессы в Rm 420
М-функционалы (421). Дифференцирование М-функционалов (433). Максимальные функционалы. Ранг процесса (443). Случайная замена времени (450). Непрерывные процессы в R1(461).
Примечания 489
Литература 492.