Теория случайных процессов, Том 2, Гихман И.И., Скороход А.В., 1973

Теория случайных процессов, Том 2, Гихман И.И., Скороход А.В., 1973.
   Второй том «Теории случайных процессов» посвящен в основном теории марковских процессов. Рассматриваются общие свойства марковских процессов, полу-групповая теория однородных марковских процессов, мультипликативные и аддитивные функционалы и важные частные классы процессов: скачкообразные,
полумарковские, ветвящиеся процессы, процессы с независимыми приращениями и марковские процессы с дискретной компонентой. В работе имеется много материала, ранее в монографиях не излагавшегося.
Книга рассчитана на студентов и научных работников, занимающихся теорией вероятностей и ее применениями.

Уравнения Колмогорова.
Среди наиболее важных задач теории марковских процессов в широком смысле можно назвать следующие:
а) выделение важнейших классов (моделей) марковских процессов, обладающих специфическими свойствами, и их описание в терминах свойств вероятностей перехода;
б) полное конструктивное описание вероятностей перехода, соответствующих данному классу марковских процессов;
в) исследование асимптотических (предельных) свойств вероятностей перехода тех или иных классов марковских процессов.
Разумеется, приведенные формулировки являются весьма общими и неопределенными, а намеченная программа исследований — очень широкой. В настоящем параграфе мы лишь бегло коснемся отдельных ее пунктов; приводимые здесь определения и результаты следует рассматривать как предварительные, служащие для иллюстрации постановок общих задач и тех результатов, которые будут получены в дальнейшем.
Первым шагом на пути классификации марковских процессов является их классификация по фазовому пространству. С этой точки, зрения простейшими марковскими процессами являются процессы с конечным или счетным числом состояний. В этом случае, налагая на вероятности перехода некоторые аналитические ограничения, можно линеаризировать уравнения Колмогорова — Чепмена, получив из них системы обыкновенных дифференциальных уравнений (прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова), в ряде случаев полностью определяющие вероятности перехода.
Оглавление
Глава I Общие определения и свойства марковских процессов
§1. Марковские процессы в широком смысле 17
Определение (17). Обрывающиеся марковские процессы (19).
Закон входа марковского процесса (21). Операторы, порождаемые вероятностями перехода (23). Уравнения Колмогорова (26). Процессы с конечным или счетным числом состоянии (30). Скачкообразные процессы в широком смысле (35). Процессы с независимыми приращениями (46). Слабо дифференцируемые марковские процессы в широком смысле (50).
§2. Марковская случайная функция 55
Определение и простейшие свойства (55). Вероятность перехода (60).
§3. Марковские процессы 62
Определения (62). Пополнение основных o-алгебр (67). Стохастически эквивалентные марковские процессы (72). Построение марковского процесса по вероятности перехода (76).
§4 Строго марковские процессы 79
Марковские моменты (80). Прогрессивно измеримые функции (82). Строго марковские процессы (87). Критерии строгой марковости (93).
§5. Мультипликативные функционалы 97
Мультипликативные функционалы и полустохастические ядра (97). Одно интегральное уравнение, связанное с мультипликативными функционалами (106). Подпроцессы (107).
§6. Свойства выборочных функций марковских процессов 113 Марковское семейство (113). Свойства выборочных функций марковских процессов (115). Стандартные марковские процессы (117). Прогрессивно измеримые процессы (126).
Глава II Однородные марковские процессы
§1. Основные определения 131
Полугруппа, связанная с однородным марковским процессом (136). Обрывающийся марковский процесс (138).
§2. Резольвента и производящий оператор слабо измеримого марковского процесса 139
Основные свойства резольвенты (142). Производящий оператор полугруппы (147). Теорема Хилле—Иосида (150).
§3. Стохастически непрерывные процессы 155
Процессы в метрическом пространстве (158). Феллеровские процессы (160).
§4. Феллеровские процессы в локально компактных пространствах 166
Феллеровские процессы на компакте (166). Регулярные процессы в локально компактных пространствах (170). Обрывающиеся процессы (177). Потенциал обрывающегося регулярного процесса (181).
§5. Строго марковские процессы в локально компактных пространствах 190
Определение строго марковского процесса (190). Полугруппа в марковские моменты времени. Характеристический оператор (192). Характеристические операторы процессов на компакте (196). Процессы в локально компактных пространствах, обрывающиеся в момент первого выхода из всех компактов (198). Условия ограниченности процесса (220). Необрывающиеся строго марковские процессы (224).
§6. Мультипликативные, аддитивные функционалы, эксцессивные функции 243
Определение и простейшие свойства аддитивных и мультипликативных функционалов (243). Непрерывные аддитивные однородные функционалы (250). W-функционалы (257). Случайная замена времени (276).
Глава III Скачкообразные процессы
§1. Общие определения и свойства скачкообразных процессов 280
§2. Однородные процессы Маркова со счетным множеством состояний 294
Вероятности перехода, резольвенты (295). Дифференцируемость вероятности перехода (299). Примеры нерегулярных процессов (309). Регулярные процессы (317). Процессы с обрывом на бесконечности (329). Необрывающиеся процессы (333).
§3. Полумарковские процессы 336
Конструктивное определение полумарковского процесса (336). Общее определение полумарковского процесса (345). Процессы с полумарковским вмешательством случая (355). Эргодическая теорема для процессов с дискретным вмешательством случая (362).
§4. Марковские процессы с дискретной компонентой 372 Определение. Основные характеристики (372). Характеристический оператор. Гармонические функции (378).
Глава IV Процессы с независимыми приращениями
§1. Определение. Общие свойства 383
Одномерные процессы с независимыми приращениями (385). Процессы с независимыми приращениями в сепарабельном банаховом пространстве (401). Некоторые свойства выборочных функций (406).
§2. Однородные процессы с независимыми приращениями. Одномерный случай 416
Резольвента процесса (418). Ступенчатые процессы (429). Распределение времени достижения и величины перескока для процессов общего вида (440). Совместное распределение supremum'a, infimum’a и значения процесса (450). Процессы со скачками одного знака (455).
§3. Свойства выборочных функций однородных процессов с независимыми приращениями в R 463
Локальные свойства выборочных функций (464). Рост процессов на бесконечности (488)
§4. Конечномерные однородные процессы с независимыми приращениями 495
Резольвента, характеристический, производящий операторы (497). Время пребывания процесса в области и значение в момент выхода (508). Поведение процесса при t (513). Неотрицательные аддитивные функционалы (521). Многомерный винеровский процесс (533).
Глава V Ветвящиеся процессы
§1. Ветвящиеся процессы с конечным числом частиц 547 Определение. Производящие функции (547). Ветвящиеся процессы с дискретным временем (556). Моменты (время дискретное) (558). Субкритический случай (566). Критический случай (573). Процессы с непрерывным временем (576) Моменты (время непрерывное) (579).
§2. Ветвящиеся процессы с непрерывным множеством состояний 586
§3. Общие марковские процессы с ветвлением 598
Конструктивное описание процесса (598). Построение марковского процесса (607). Характеристический оператор процесса (616).
Дополнение к §1 главы V 623
Примечания 628
Литература 632
Указатель 637.