Теория случайных процессов, Том 1, Гихман И.И., Скороход А.В., 1971

Теория случайных процессов, Том 1, Гихман И.И., Скороход А.В., 1971.
   В книге изложены основные понятия теории вероятностей на аксиоматической основе, общие вопросы теории случайных функций, теория вероятностных мер в функциональных пространствах и общие предельные теоремы для случайных процессов.

СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Последовательности случайных величин E1, E2, ... ...,    En, ... можно рассматривать как случайный процесс с дискретным временем. Для общей теории случайные последовательности играют важную роль.
Во-первых, имеется много теоретико-вероятностных задач, в которых время по существу входит дискретно.
Во-вторых, изучение процессов с дискретным временем в некоторых отношениях требует более простых средств и вместе с тем в ряде случаев такими процессами можно аппроксимировать или с их помощью можно изучать произвольные процессы с непрерывным временем.
Основные вопросы, рассматриваемые в настоящей главе, связаны с изучением асимптотического поведения случайной последовательности при неограниченном возрастании времени. Это вопросы о существовании предела последовательности, о сходимости рядов со случайными членами, о поведении среднего арифметического, об асимптотическом характере распределения членов расходящейся последовательности и т. п. Весь этот цикл вопросов тесно связывает классические разделы теории вероятностей (закон больших чисел, предельные теоремы для сумм случайных слагаемых) с общей теорией случайных процессов.
Оглавление
Предисловие 8
Глава I
Основные понятия теории вероятностей
§1. Аксиомы и определения 9
События (9). Вероятность (11). Случайные величины (12). Случайные элементы (16). Математическое ожидание (18). Сходимость по вероятности (19). Пространства Lр (21). Распределения случайных векторов (23). Характеристические функции (26). Случайное время (31).
§2. Независимость 34
Определения (34). Независимые случайные величины (36). Закон 0, или 1 (39).
§3. Условные вероятности и условные математические ожидания 43
Определения (43). Свойства условных математических ожиданий и условных вероятностей (46). Условное математическое ожидание относительно случайной величины (49). Регулярные вероятности (51). Условные плотности (56).
§4. Случайные функции и случайные отображения 58
Определения (58). Построение случайной функции по ее частным распределениям (63).
Глава II
Случайные последовательности
§1. Предварительные замечания 70
§2. Полумартингалы и мартингалы 73
Определения и простейшие свойства (73). Некоторые неравенства (75). Существование предела (81). Некоторые применения (84).
§3. Ряды 87
Некоторые общие признаки сходимости рядов (87), Ряды независимых случайных величин (90). Применения к усиленному закону больших чисел (94).
§4. Цепи Маркова 96
Системы под случайным воздействием (96). Стохастические ядра (99). Определение цепи Маркова (108).
§5. Цепи Маркова со счетным числом состояний 115
Приводимость и неприводимость (115). Возвратность (117). Периодичность (125). Основная теорема теории восстановления (128). Предельные теоремы для вероятностей перехода (133). Критерии возвратности. Стационарные распределения (136).
§6. Случайные блуждания на решетке 147
Неприводимость (147). Возвратные блуждания (152).
§7. Локальные предельные теоремы для решетчатых блужданий 157
§8. Эргодические теоремы 165
Преобразования, сохраняющие меру (165). Некоторые следствия теоремы Биркхофа — Хинчина (172). Эргодические стационарные последовательности (174).
Глава III
Случайные функции
§1. Некоторые классы случайных функций 182
Гауссовские случайные функции (182). Процессы с независимыми приращениями (188). Марковские процессы (198).
§2. Сепарабельные случайные функции 202
Основная теорема (202). Стохастическая непрерывность (208).
§3. Измеримые случайные функции 211
§4. Критерий отсутствия разрывов второго рода 215
Функции без разрывов второго рода (215). Некоторые неравенства (217). Условия отсутствия разрывов второго рода, использующие частные распределения процесса (221). Условия отсутствия разрывов второго рода, использующие условные вероятности (222). Регуляризация выборочных функций процесса без разрывов второго рода (227). Мартингалы (228).
§5. Непрерывные процессы 230
Условия непрерывности процесса без разрывов второго рода (230). Процессы с независимыми приращениями (232). Условие Колмогорова непрерывности случайного процесса (235). Гауссовские процессы (238).
Глава IV
Линейная теория случайных процессов
§1. Корреляционные функции 240
Положительно определенные ядра (240). Процессы, стационарные в широком смысле (245).
§2. Спектральные представления корреляционных функций 253
Стационарные последовательности (253). Однородные случайные поля (256). Однородные и изотропные поля (261). Векторные однородные поля (265).
§3. Элементы анализа гильбертовых случайных функций 267
Интегрирование (267). Закон больших чисел (270). Дифференцирование (273). Разложение случайного процесса в ортогональные ряды (275).
§4. Стохастические меры и интегралы 280
§5. Интегральные представления случайных функций 292
§6. Линейные преобразования 298
§7. Физически осуществимые фильтры 310
§8. Прогноз и фильтрация стационарных процессов 325
Метод Винера (330). Метод Яглома (334).
§9. Общие теоремы о прогнозе стационарных процессов 344
Прогноз стационарных последовательностей (344). Прогноз процессов с непрерывным временем (358).
Глава V
Вероятностные меры в функциональных пространствах
§1. Меры, соответствующие случайным процессам 365
§2. Меры в метрических пространствах 372
§3. Меры на линейных пространствах. Характеристический функционал 381
§4. Меры в пространствах Lр 390
§5. Меры в гильбертовом пространстве 401
Моментные формы (404). Теорема Минлоса — Сазонова (406). Обобщенные меры в гильбертовом пространстве (409).
§6. Гауссовские меры в гильбертовом пространстве 414
Линейные и квадратические функционалы (419). Линейные и квадратические функционалы от стационарных гауссовских процессов (424).
Глава VI
Предельные теоремы для случайных процессов
§1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах 429
§2. Условия слабой сходимости мер в гильбертовом пространстве 439
§3. Суммирование независимых случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве 452
Сходимость рядов, из независимых случайных величин (454). Безгранично делимые распределения в гильбертовом пространстве (460). Предельная теорема для сумм независимых случайных величин (468).
§4. Предельные теоремы для непрерывных случайных процессов 478
Сходимость процессов, построенных по суммам независимых случайных величин (485). Сходимость непрерывных процессов с независимыми приращениями (492). Сходимость непрерывных марковских процессов (494).
§5. Предельные теоремы для процессов без разрывов второго рода 496
Метрика в пространстве функций без разрывов второго рода (496). Основная предельная теорема для процессов без разрывов второго рода (506). Предельные теоремы для марковских процессов (508). Применение к статистике (512).
Глава VII
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих случайным процессам
§1. Общие теоремы об абсолютной непрерывности 518
§2. Допустимые сдвиги мер в гильбертовом пространстве 528
Допустимые сдвиги взвешенных мер (539). Одно достаточное условие допустимости сдвига (547).
§3. Абсолютная непрерывность мер при отображениях пространств 557
§4. Абсолютная непрерывность гауссовских мер в гильбертовом пространстве 574
§5. Эквивалентность и ортогональность мер, соответствующих стационарным гауссовским процессам 584
§6. Общие свойства плотностей мер, соответствующих марковским процессам 600
Глава VIII
Измеримые функции на гильбертовых пространствах
§1. Измеримые линейные функционалы и операторы на гильбертовом пространстве 612
Измеримые линейные операторы (618).
§2. Измеримые полиномиальные функции. Ортогональные полиномы 623
Построение ортогональной системы полиномиальных функций (626).
§3. Измеримые отображения 634
Полиномиальные отображения (636). Разложение измеримых отображений по ортогональным системам полиномов (640).
§4. Вычисление некоторых характеристик преобразованных мер 642
Группы преобразований (642). Преобразования, мало отличающиеся от линейных (643). Формулы взаимности и другие разложения по малому параметру (645). Применение ортогональных полиномов (649).
Примечания 661
Литература 656
Указатель 662.