Теория операторов, Садовничий В.А., 2004

Теория операторов, Садовничий В.А., 2004.
   Учебник соответствует программе курсов «Функциональный анализ», «Теория операторов», «Анализ III», которые читаются в университетах и педагогических вузах. В книге приведены основные теоретико-множественные понятия, представлена общая теория метрических, топологических, линейных топологических и нормированных пространств, общая теория меры, измеримых функций и интеграла Лебега. Подробно рассмотрены теория операторов в гильбертовом пространстве, спектральная теория самосопряженных операторов, применения методов теории аналитических функций в спектральной теории несамосопряженных операторов, теория преобразования Фурье и обобщенные функции.
Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики. Может быть полезен аспирантам и научным работникам.

ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
В первой главе были введены важные классы пространств: метрические и топологические и изучены их основные свойства.
Однако часто возникает необходимость рассматривать множества, на которых над их элементами определены операции: сложение, умножение на скаляры, удовлетворяющие определенным свойствам. Такие множества, называемые линейными пространствами, и являются основным объектом изучения в этой главе. Наиболее интересные результаты получаются в том случае, когда линейное пространство наделено еще структурой топологического пространства или некоторой другой структурой, например нормой, которая определяет топологию в пространстве, и при этом линейные операции непрерывны в этой топологии. Линейные топологические пространства, так называемые «F-пространства» и нормированные пространства, играют исключительно важную роль в анализе и поэтому будут детально изучены. Обычно выделяют несколько важных принципов в теории таких пространств — это принцип равномерной ограниченности, принцип открытости отображения, принцип продолжения функционалов. Этот материал и будет являться предметом изучения в данной главе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§1. Простейшие понятия теории множеств
1. Основные свойства множеств. Отображения. Прямое произведение множеств
2. Мощность множества
3. Частичная упорядоченность. Упорядоченность
4. Сравнения мощностей
§2. Метрические пространства
1. Определение метрического пространства. Примеры
2. Открытые и замкнутые множества
3. Всюду плотные и совершенные множества
4. Сходимость. Непрерывные отображения
5. Компактность
6. База топологии пространства
Задачи  
§3. Свойства метрических пространств
1. Пополнение метрических пространств
2. Основные теоремы в полных метрических пространствах
3. Компактность в метрических пространствах s-сеть
Задачи  
§4. Топологические пространства
1. Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры
2. Замечание о топологических пространствах
Задачи  
§5. Свойства топологических пространств
1. Регулярные, вполне регулярные и нормальные пространства
2. Регулярные пространства со счетной базой. Теорема Тихонова
3. Компактные хаусдорфовы и нормальные пространства
4. Метрические и топологические пространства
5. Тихоновские произведения топологических пространств
6. Теорема Стоуна — Вейерштрасса
Задачи  
Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§1. Линейные пространства
1. Группа, кольцо, поле, линейное пространство
2. Линейные операторы. Пространство операторов
3. Банаховы пространства
4. Выпуклые множества, функционал Минковского, полунормы
5. Линейные топологические пространства. Теорема А.Н. Колмогорова
6. Счетно-нормированные пространства
Задачи  
§2 Линейные ограниченные операторы в банаховых и F-пространствах. Основные принципы функционального анализа
1. Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах
Банахово пространство операторов. Понятие F-пространства
2 Принцип равномерной ограниченности
3. Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отображения
4. Продолжение операторов и функционалов. Принцип продолжения Банаха—Хана
5. Различные топологии, различные типы сходимостей. Общие виды функционалов в конкретных пространствах
6. Компактные множества, слабая компактность
Задачи  
Глава III. ТЕОРИЯ МЕРЫ. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛ
§1. Теория меры
§2. Измеримые функции
§3. Интеграл Лебега
1. Определение интеграла Лебега
2. Свойства интеграла Лебега
3. Предельный переход под знаком интеграла Лебега
4. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана
5. Пространства Lp
§4. Абсолютно непрерывные функции множеств. Теорема Радона — Никодима
1. Абсолютно непрерывные функции множеств
2. Теорема Радона — Никодима
§5. Прямое произведение мер. Теорема Фубини
1. Прямое произведение мер
2. Теорема Фубини
Задачи  
Глава IV. ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
§1. Гильбертовы пространства
1. Геометрия гильбертова пространства
2. Базисы гильбертова пространства
3. Размерность гильбертова пространства
4. Ортогональное разложение в гильбертовом пространстве
5. Биортогональные последовательности
6. Матричное представление линейного ограниченного оператора в Н
Задачи  
§2 Спектральные теоремы
1. Сопряженный оператор
2. Понятие о вполне непрерывном операторе
3. Абсолютная норма оператора
4. Альтернатива Фредгольма
5. Проектирующие операторы
6. Спектр оператора
7. Симметрические операторы. Свойства квадратичной формы оператора
8 Квадратный корень из симметрического оператора
9. Спектральная теорема для симметрического оператора в n-мерном пространстве
10. Вполне непрерывные операторы. Спектральная теорема
11. Спектральная теорема для симметрического ограниченного оператора  
12. Спектральная теорема для унитарного оператора
13. Неограниченные операторы
14. Спектр симметрического ограниченного оператора
15. Спектр и резольвента неограниченных операторов
Задачи  
§3. Операторные уравнения. Аналитические функции и операторы
1. Аналитические свойства резольвенты
2. Теорема Келдыша
3. Корневые векторы и корневые подпространства несамосопряженных операторов
4. Дифференциальные операторы
Глава V. СЛЕДЫ ОПЕРАТОРОВ
§1. Теорема о следе для оператора в n-мерном пространстве
§2. Ядерные операторы. Теорема о следе
1. Теорема о следе для положительного ядерного оператора
2. Свойства s-чисел вполне непрерывных операторов
3. Оценки собственных значений вполне непрерывного оператора
4. Оценки s-чисел произведений и сумм линейных вполне непрерывных операторов
5. Теорема о следе для ядерного оператора
§3. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций.
Следы дифференциальных операторов
1. Функции класса К
2. Дзета-функция
3. Регуляризованные суммы корней функции класса К
Задачи  
§4. Следы дискретных операторов
Глава VI. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§1. Обобщенные функции
1. Понятие обобщенной функции  
2. Основные свойства обобщенных функций
3. Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями
4. Прямое произведение и свертка обобщенных функций
§2. Преобразование Фурье
1. Преобразование Фурье функций из пространства L1
2. Преобразование Фурье функций из пространства L2
3. Преобразование Фурье обобщенных функций
Литература
Предметный указатель.