Теория функций комплексного переменного, Морозова В.Д., 2009

Теория функций комплексного переменного, Морозова В.Д., 2009.
 
   Книга является десятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете" и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач. Приведены примеры и задачи из физики, механики и разных отраслей техники.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Нахождение всевозможных разложении функции по заданным степеням.
Рассмотрим задачу о разложении функции f(z) в ряд Лорана по степеням z - z0, т.е. в ряд с центром в точке z0. Такое разложение тесно связано с наличием и расположением особых точек функции (см. 6.4 и 6.5). На границе круга сходимости ряда Тейлора, на внутренней и внешней границах кольца сходимости ряда Лорана имеются особые точки разлагаемой в ряд функции. Упрощая задачу, будем предполагать, что функция является аналитической всюду в комплексной плоскости, за исключением некоторого конечного множества особых точек. Каждая такая точка имеет окрестность, в которой нет других особых точек, т.е. все эти точки являются изолированными особыми точками.
Через каждую изолированную особую точку функции проведем окружность с центром в заданной точке z0. Система этих концентрических окружностей разделит комплексную плоскость на конечное число концентрических колец, в каждом из которых рассматриваемая функция f(z) аналитична. Стало быть, в каждом из этих колец, согласно теореме Лорана, функцию можно представить рядом Лорана. Отметим, что ряды Лорана функции f(z) в разных кольцах не могут совпадать. Действительно, область сходимости ряда Лорана есть кольцо, быть может дополненное частью его границы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие Основные обозначения
1. Комплексная плоскость
1.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа
1.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
1.3. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана
1.4. Геометрия на комплексной плоскости
1.5. Задание множества точек на комплексной плоскости
Вопросы и задачи
2. Последовательности и ряды комплексных чисел
2.1. Последовательности комплексных чисел
2.2. Комплексные числовые ряды
2.3. Степенные ряды
2.4. Круг сходимости
2.5. Двусторонний степенной ряд
Вопросы и задачи
3. Функции комплексного переменного
3.1. Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного
3.2. Предел и непрерывность функций комплексного переменного
3.3. Элементарные функции комплексного переменного
3.4. Многозначная функция Arg z
3.5. Логарифмическая функция
3.6. Обратные тригонометрические функции
Вопросы и задачи
4. Дифференцирование функций комплексного переменного
4.1. Производная функции комплексного переменного
4.2. Необходимые условия дифференцируемости
4.3. Достаточные условия дифференцируемости
4.4. Условия Коши — Римана в полярных координатах
4.5. Правила дифференцирования функций комплексного переменного
4.6. Аналитические функции
4.7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
4.8. Теорема о единственности аналитической функции
4.9. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части
4.10. Понятие об аналитическом продолжении
Вопросы и задачи
5. Интегрирование функций комплексного переменного
5.1. Понятие и вычисление интеграла от функции комплексного переменного
5.2. Интегральные теоремы Коши
5.3. Независимость интеграла от пути интегрирования
5.4. Формула Ньютона — Лейбница
5.5. Интегральная формула Коши
5.6. Высшие производные аналитической функции
5.7. Достаточные условия аналитичности функции
Д-5.1. Комплексный потенциал плоского векторного поля
Вопросы и задачи
6. Функциональные ряды на комплексной плоскости
6.1. Равномерная сходимость функциональных рядов
6.2. Свойства равномерно сходящихся рядов
6.3. Ряд Тейлора
6.4. Разложение функций в ряд Тейлора
6.5. Ряд Лорана
6.6. Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням
6.7. Связь ряда Лорана с рядом Фурье
Вопросы и задачи
7. Нули и особые точки аналитической функции
7.1. Нули аналитической функции
7.2. Изолированные особые точки
7.3. Бесконечно удаленная точка как особая
7.4. Классификация аналитических функций по их особым точкам
Д.7.1. Физическое толкование полюсов аналитической функции
Вопросы и задачи
8. Вычеты в изолированных особых точках
8.1. Вычет в конечной точке
8.2. Вычисление вычета в полюсе
8.3. Вычет в бесконечно удаленной точке
8.4. Применение вычетов для вычисления интегралов
8.5. Логарифмический вычет
Д.8.1. Вычисление интегралов от действительных функций
Вопросы и задачи
9. Геометрические принципы теории функций комплексного переменного
9.1. Взаимно однозначные отображения
9.2. Свойства конформных отображений
9.3. Теорема Римана
9.4. Принцип соответствия границ
9.5. Принцип максимума модуля функции
9.6. Принцип симметрии
Вопросы и задачи
10. Конформные отображения
10.1. Линейное отображение
10.2. Дробно-линейное отображение
10.3. Целая степенная функция
10.4. Показательная функция
10.5. Функция Жуковского
10.6. Тригонометрические и гиперболические функции
10.7. Однозначные ветви многозначных обратных функций
Д. 10.1. Отображение полуплоскости на внутренность прямоугольника
Д.10.2. Интеграл Кристоффеля — Шварца
Вопросы и задачи
11. Прикладные задачи
11.1. Предварительные замечания
11.2. Непосредственное использование известного комплексного потенциала
11.3. Обтекание цилиндрического тела
11.4. Течение жидкости в каналах
11.5. Задачи различного физического содержания
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель.