Статистика, Вероятность, Комбинаторика, Бродский Я.С., 2008

Статистика, Вероятность, Комбинаторика, Бродский Я.С., 2008.
    В данном учебном пособии подробно излагаются основы описательной и математической статистики, элементы теории вероятностей и комбинаторики. К каждому параграфу приводятся контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Кроме того, каждая глава содержит дополнительные задачи. В конце книги даны ответы и указания ко всем задачам.
Пособие предназначено старшеклассникам, студентам техникумов и младших курсов ВУЗов, обучающихся на не математических специальностях.
Описательная статистика.
О назначении описательной статистики можно судить по ее названию: она имеет дело с числами, характеризующими ту или иную интересующую нас ситуацию. Вот примеры статистической информации:
- уровень преступности в регионе;
- средняя зарплата в различных отраслях региона;
- уровень безработицы;
- число несчастных случаев на шахтах;
- число мобильных телефонов, проданных в текущем месяце;
- таблицы продолжительности жизни;
- уровень заболеваемости СПИДом;
- уровень достижений учащихся по математике;
- данные о доступности заданий единого государственного экзамена по математике;
- число граждан СНГ, обучающихся в Московском государственном университете, и т. п.
Ценность описательной статистики заключается прежде всего в том, что она дает сжатую и концентрированную характеристику изучаемого явления. Рассмотрим следующий пример. Пусть на некотором предприятии работает 1500 человек. Бухгалтерская ведомость на зарплату довольна большая. Информация о том, что средняя месячная зарплата работников этого предприятия составляет 8200 р., дает определенное, хотя и неполное представление об уровне заработной платы на этом предприятии.
Предмет исследований во многих сферах отличается исключительной сложностью, изменчивостью, индивидуальным многообразием явлений и процессов. Эти процессы происходят неоднозначно. Поэтому применение одинаковых подходов, средств, технологий дает в каждом конкретном случае различные результаты в зависимости от субъективных факторов, от обстоятельств, которые нельзя контролировать и которые влияют на протекание процесса. Неоднозначность протекания процесса порождается наличием присущего ему случайного. Но это не означает отсутствие общих закономерностей в изучаемых процессах и явлениях. Например, невысокая скорость чтения у отдельного учащегося является случайным событием, но у ученика, любящего читать, она встречается существенно реже, чем у того, кто редко берет книгу в руки. Эта устойчивость появления тех или других случайных событий уже является закономерностью.
Оглавление
Предисловие 7
Введение 10
Контрольные вопросы 15
Задачи 15
Глава 1 ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА 17
§ 1.1. Классификация данных и измерительные шкалы 19
Контрольные вопросы 27
Задачи 27
§ 1.2. Первичная обработка результатов измерений 29
Контрольные вопросы 38
Задачи 39
§ 1.3. Вариационные ряды 40
Контрольные вопросы 46
Задачи 46
§ 1.4. Графическое изображение вариационных рядов 47
Контрольные вопросы 51
Задачи 53
§ 1.5. Среднее арифметическое — показатель центральной тенденции 54
Контрольные вопросы 64
Задачи 65
§ 1.6. Другие меры центральной тенденции 68
1.6.1. Медиана 68
1.6.2. Мода 75
1.6.3. Некоторые виды степенного среднего 82
Контрольные вопросы 86
Задачи 88
§ 1.7. Показатели вариации 90
1.7.1. Размах вариации 90
1.7.2. Дисперсия 92
1.7.3. Коэффициент вариации 98
1.7.4. Стандартизированные данные 98
Контрольные вопросы 100
Задачи 100
§ 1.8. Квантили 102
Контрольные вопросы 106
Задачи 106
Дополнительные задачи к главе 1 107
Глава 2 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 118
§ 2.1. Статистическая вероятность 119
2.1.1. Случайный опыт 119
2.1.2. Случайное событие 122
2.1.3. Относительная частота события 124
2.1.4. Статистическая устойчивость опытов 125
2.1.5. Применение статистической вероятности 132
Контрольные вопросы 134
Задачи 134
§ 2.2. Классическая вероятность 137
2.2.1. Равновозможность 137
2.2.2. Вероятность события 139
Контрольные вопросы 149
Задачи 149
§ 2.3. Субъективная вероятность 152
Контрольные вопросы 155
Задачи 155
§ 2.4. Вероятностная модель случайного опыта 156
2.4.1. Пространство элементарных исходов опыта 157
2.4.2. Вероятности элементарных исходов 161
Контрольные вопросы 166
Задачи 166
§ 2.5. Случайные события и их вероятности 168
2.5.1. Случайное событие 168
2.5.2. Вероятность случайного события 171
2.5.3. Классическая вероятность и ее связь со статистической вероятностью 174
Контрольные вопросы 178
Задачи 178
§ 2.6. Операции над событиями 180
2.6.1. Достоверное и невозможное события 180
2.6.2. Противоположные события 183
2.6.3. Пересечение, или произведение, событий 184
2.6.4. Объединение, или сумма, событий 187
2.6.5. Обобщение операций объединения и пересечения событий 189
Контрольные вопросы 190
Задачи 191
§ 2.7. Шансы в пользу события 191
Контрольные вопросы 196
Задачи 196
§ 2.8. Вероятность суммы событий 197
Контрольные вопросы 204
Задачи 205
§ 2.9. Условные вероятности 207
Контрольные вопросы 214
Задачи 215
§ 2.10. Независимые события 217
Контрольные вопросы 224
Задачи 225
§ 2.11. Формула полной вероятности 226
Контрольные вопросы 230
Задачи 231
Дополнительные задачи к главе 2 232
Глава 3 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 244
§ 3.1. Перебор возможных вариантов 245
Контрольные вопросы 253
Задачи 253
§ 3.2. Правила умножения и сложения 254
3.2.1. Комбинаторное правило умножения 254
3.2.2. Комбинаторное правило сложения 259
3.2.3. Перестановки 262
3.2.4. Зависит ли результат выбора от порядка следования элементов? 265
3.2.5. Распределение n одинаковых предметов по т ячейкам 268
Контрольные вопросы 271
Задачи 271
§ 3.3. Основные комбинаторные схемы 275
3.3.1. Упорядоченные выборки (размещения) 276
3.3.2. Перестановки 278
3.3.3. Неупорядоченные выборки (сочетания) 280
3.3.4. Свойства сочетаний 286
Контрольные вопросы 288
Задачи 289
§ 3.4. Бином Ньютона 290
Контрольные вопросы 294
Задачи 295
Дополнительные задачи к главе 3 295
Глава 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 302
§ 4.1. Случайная величина, закон ее распределения 303
Контрольные вопросы 313
Задачи 314
§ 4.2. Математическое ожидание случайной величины 315
Контрольные вопросы 322
Задачи 322
§ 4.3. Свойства математического ожидания 323
Контрольные вопросы 329
Задачи 329
§ 4.4. Формула Бернулли 331
Контрольные вопросы 342
Задачи 343
§ 4.5. Дисперсия случайной величины 344
Контрольные вопросы 353
Задачи 353
§ 4.6. Независимые случайные величины 355
Контрольные вопросы 365
Задачи 365
§ 4.7. Числовые характеристики биномиального распределения 366
Контрольные вопросы 368
Задачи 369
§ 4.8. Неравенство Чебышёва 370
Контрольные вопросы 376
Задачи 376
§ 4.9. Закон больших чисел 377
Контрольные вопросы 381
Задачи 382
§ 4.10. Нормальное распределение 383
Контрольные вопросы 394
Задачи 395
Дополнительные задачи к главе 4 396
Глава 5 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 409
§ 5.1. Генеральная совокупность и выборка 411
Контрольные вопросы 422
Задачи 423
§ 5.2. Оценивание параметров 424
Контрольные вопросы 438
Задачи 438
§ 5.3. Доверительные интервалы 440
Контрольные вопросы 446
Задачи 447
§ 5.4. Проверка статистических гипотез 448
Контрольные вопросы 457
Задачи 458
§ 5.5. Проверка гипотезы о равенстве среднего генеральной совокупности некоторому заданному значению 459
Контрольные вопросы 471
Задачи 472
§ 5.6. Проверка гипотез о биномиальной вероятности 474
Контрольные вопросы 484
Задачи 484
Дополнительные задачи к главе 5 485
Ответы и указания к задачам 495
Приложение 521
Основные понятия, факты, формулы 521
Таблица П.1. Вероятности для стандартного нормального распределения 530
Таблица П.2. Случайные числа 534
Таблица П.З. Распределение Стьюдента 536
Предметный указатель 538
Именной указатель 542
Список использованной литературы 543.