Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в ВУЗы, Цыпкин А.Г., Пинский А.И., 2007

Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в ВУЗы, Цыпкин А.Г., Пинский А.И., 2007.

   Данное справочное пособие включает все основные разделы школьной программы по математике.
Книга содержит необходимые теоретические сведения и методы решения задач, иллюстрируемые подробно разобранными примерами. Упражнения для самостоятельного решения включают задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Приводятся ответы, указания или решения ко всем упражнениям.
Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики.
   Настоящее учебное пособие представляет собой третье, переработанное и исправленное издание книги тех же авторов (первые два издания под названием «Справочник по методам решения задач по математике для средней школы» были выпущены в 1983 и 1989 гг.). Оно предназначено для учащихся, желающих систематизировать, углубить и расширить свои знания по математике, для того чтобы лучше подготовиться к выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в ВУЗ.
Цель книги — изложить методы решения задач из курса математики средней школы, а также тех задач, которым в школе по тем или иным причинам не уделяется должного внимания.
Попыткой достигнуть этой цели и определяется структура книги. В начале каждого параграфа кратко изложен теоретический материал (определения, основные теоремы и формулы), знание которого необходимо для решения задач данного раздела. Это позволяет использовать книгу, не прибегая дополнительно к школьным учебникам. Затем указывается метод решения задач какого-либо вида и рассматривается пример, в котором используется этот метод. После этого приводятся упражнения для самостоятельного решения (ко всем упражнениям в конце книги даны ответы, а к некоторым — указания или решения).
Оглавление
От издательства 3
Глава 1. Преобразование алгебраических выражений 5
§ 1. Упрощение иррациональных выражений 6
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля 9
§ 3. Доказательство тождеств 16
§ 4. Условные тождества 19
§ 5. Преобразование логарифмических выражений 22
Глава 2. Уравнения 28
§ 6. Нахождение корней многочленов 29
§ 7. Рациональные уравнения 37
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля 41
§ 9. Иррациональные уравнения 42
§ 10. Показательные уравнения 48
§ 11. Логарифмические уравнения 54
§ 12. Разные задачи 60
Глава 3. Системы уравнений 61
§ 13. Системы линейных уравнений 62
§ 14. Системы нелинейных уравнений 66
§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений 77
§ 16. Разные задачи 81
Глава 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 82
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства 82
§ 18. Показательные неравенства 90
§ 19. Логарифмические неравенства 93
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 100
§ 22. Доказательство неравенств 108
Глава 5. Тригонометрия 113
§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 115
§ 24. Вычисление значений тригонометрических
§ 25. Тригонометрические уравнения 124
§ 26. Системы тригонометрических уравнений 140
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 145
§ 28. Тригонометрические неравенства 150
§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции 153
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств 155
Глава 6. Комплексные числа 160
§ 31. Действия с комплексными числами 160
§ 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям 163
§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел 166
§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 170
Глава 7. Последовательности 173
§ 35. Определение последовательности и ее свойства 173
§ 36. Предел последовательности 176
§ 37. Вычисление пределов последовательностей 178
§ 38. Арифметическая прогрессия 184
§ 39. Геометрическая прогрессия 188
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии 193
§ 41. Разные задачи 195
Глава 8. Предел функции, непрерывность функции 200
§ 42. Предел функции 200
§ 43. Вычисление пределов функций 203
§ 44. Непрерывность функции 207
§ 45. Разные задачи 213
Глава 9. Производная и ее применения 216
§ 46. Нахождение производных 216
§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции 234
§ 50. Геометрические приложения производной 245
§ 51. Приложения производной к задачам
Глава 10. Первообразная и интеграл 254
§ 52. Неопределенный интеграл 254
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных 258
§ 54. Определенный интеграл 261
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом 265
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов 268
§ 57. Вычисление площадей фигур 270
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей фигур 275
§ 59. Вычисление объемов тел 278
§ 60. Приложения определенного интеграла к задачам физики 279
Глава 11. Задачи на составление уравнений 282
§ 61. Задачи на движение 282
§ 62. Задачи на работу и производительность труда 307
§ 63. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» 317
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными 320
§ 65. Задачи на концентрацию и процентное содержание 329
§ 66. Разные задачи 335
Глава 12. Планиметрия 339
§ 67. Треугольники 339
§ 68. Четырехугольники 351
§ 69. Окружность и круг 359
§ 70. Треугольники и окружности 367
§ 71. Многоугольники и окружности 381
Глава 13. Стереометрия 390
§ 72. Многогранники 391
§ 73. Сечения многогранников 401
§ 74. Фигуры вращения 415
§ 75. Комбинации многогранников и фигур вращения 421
Глава 14. Метод координат и элементы векторной
§ 76. Векторы и их координаты 440
§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости и поверхностей в пространстве 450
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 458
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры 467
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 475
§ 82. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения векторов 486
Глава 15. Комбинаторика. Бином Ньютона. Элементы теории вероятностей 492
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки 492
§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений 496
§ 84. Бином Ньютона 498
§ 85. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики 503
§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами 508
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 512
Глава 16. Элементы математической логики. Системы счисления 522
§ 88. Высказывания 522
§ 99. Предложения, зависящие от переменной 530
§ 90. Метод математической индукции 536
§ 91. Системы счисления 540
Ответы, указания, решения 547