Справочник школьника по математике, 5-11 класс, Маслова, Суходский, 2008

Справочник школьника по математике, 5-11 класс, Маслова Т.Н., Суходский А.М., 2008.
    В справочнике в краткой и доступной форме излагается весь материал школьного курса математики для 5-11 классов.
Пособие содержит большое количество примеров и задач с подробными решениями.
Справочник адресован учащимся общеобразовательных школ, лицеев и колледжей.
Действительные числа.
Числовая плоскость. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Под парой чисел обычно понимают два числа, которые рассматриваются в определенном порядке (упорядоченная пара). Множество всех пар действительных чисел называют числовой плоскостью.
Как для множества всех действительных чисел (или числовой прямой) есть геометрическая модель — координатная прямая (см. пп. 18 и 21), так и для множества всех пар действительных чисел (числовой плоскости) есть геометрическая модель — координатная плоскость. Координатная плоскость хОу определяется двумя взаимно перпендикулярными прямыми с общим началом О и одинаковым масштабом (рис. 3). Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью Ох, вертикальная — осью ординат или осью Оу. Говорят, что эти оси образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
АЛГЕБРА
Раздел I. Числа
§ 1. Натуральные числа 5
1. Запись натуральных чисел 5
2. Арифметические действия над натуральными числами 6
3. Деление с остатком 7
4. Разложение натурального числа на простые множители 8
5. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел 9
6. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел 10
7. Признаки делимости 11
8. Употребление букв в алгебре.
§ 2. Рациональные числа 13
9. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа 13
10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 15
11. Приведение дробей к общему
12. Арифметические действия над обыкновенными дробями 18
13. Десятичные дроби 21
14. Арифметические действия над десятичными дробями 22
16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь 26
17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь 28
18. Координатная прямая 29
19. Множество рациональных чисел 30
§ 3. Действительные числа 31
20. Иррациональные числа 31
21. Множество действительных чисел. Числовая прямая 32
22. Числовая плоскость. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве 33
23. Полярная система координат 35
24. Обозначения некоторых числовых множеств. Основные понятия, связанные
25. Сравнение действительных чисел 38
26. Свойства числовых неравенств 39
27. Числовые промежутки 40
28. Модуль действительного числа 42
29. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой 42
30. Правила действий над действительными числами 44
31. Свойства арифметических действий над действительными числами 44
33. Целая часть числа. Дробная часть числа 46
34. Степень с натуральным показателем 46
35. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным показателем 47
36. Стандартный вид положительного действительного числа 47
37. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней 48
38. Корень нечетной степени из отрицательного числа 50
39. Степень с дробным показателем 50
40. Свойства степеней с рациональными
41. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная
42. Десятичные приближения действительного числа по недостатку
43. Понятие о степени с иррациональным
44. Свойства степеней с действительными
§ 4. Комплексные числа 56
45. Понятие о комплексном числе 56
46. Арифметические операции над комплексными числами 57
47. Алгебраическая форма комплексного
48. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме 59
49. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа 61
50. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме 63
Раздел II. Выражения
§ 5. Основные понятия 68
51. Виды алгебраических выражений 68
52. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического
53. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество 70
§ 6. Целые рациональные выражения 71
54. Одночлены и операции над ними 71
55. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду 73
56. Формулы сокращенного умножения 75
57. Разложение многочленов на множители 76
58. Многочлены от одной переменной 79
59. Деление многочленов. Схема Горнера. Теорема Безу 80
60. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 84
61. Разложение на множители двучлена xn — an 85
62. Возведение двучлена в натуральную степень (формула бинома Ньютона) 85
§ 7. Дробные рациональные выражения 86
63. Рациональная дробь и ее основное
64. Сокращение рациональных дробей
65. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю 89
66. Сложение и вычитание рациональных дробей 90
67. Умножение и деление рациональных
68. Возведение рациональной дроби
69. Преобразование рациональных выражений 94
§ 8. Иррациональные выражения 96
70. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов) 96
71. Тождество a2 =|a| 98
72. Преобразование иррациональных
§ 9. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 100
73. Понятие трансцендентного выражения 100
74. Определение логарифма положительного числа по данному основанию 101
75. Свойства логарифмов 101
76. Логарифмирование и потенцирование 103
77. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма 104
§ 10. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 106
78. Тригонометрические выражения 106
79. Формулы сложения и вычитания
80. Формулы приведения 108
81. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же
82. Формулы двойного угла 111
83. Формулы понижения степени 112
84. Выражение sin t, cos t и tg t через tg t\2 114
85. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение 115
86. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму 116
87. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a) 117
88. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции 118
Раздел III. Функции и графики
§11. Свойства функций 120
89. Определение функции 120
90. Аналитическое задание функции 121
91. Табличное задание функции 122
92. Графическое задание функции 122
93. График функции, заданной аналитически 124
94. Четные и нечетные функции 125
95. Графики четной и нечетной функций 126
96. Периодические функции 128
97. Возрастающие и убывающие функции 129
§ 12. Виды функций 130
98. Постоянная функция 130
99. Прямая пропорциональность 131
100. Линейная функция 131
101. Взаимное расположение графиков линейных функций 133
102. Обратная пропорциональность 134
103. Функция у = х2 136
104. Функция у = х3 136
105. Степенная функция с натуральным показателем 137
106. Степенная функция с целым отрицательным показателем 139
107. Функция у =/х 140
108. Функция 3/x 141
109. Функция n/x 142
110. Степенная функция с положительным дробным показателем 142
111. Степенная функция с отрицательным дробным показателем 143
112. Функция у = [х] 144
113. Функция у = {х} 144
114. Показательная функция 145
115. Обратная функция. График обратной функции 146
116. Логарифмическая функция 150
117. Число е. Функция у = ех. Функция y = ln
118. Определение тригонометрических
119. Знаки тригонометрических функций
120. Исследование тригонометрических функций на четность, нечетность 155
121. Периодичность тригонометрических
122. Свойства и график функции у = sin x 157
123. Свойства и график функции у = cos х 158
124. Свойства и график функции у = tg x 159
125. Свойства и график функции у = ctg x 161
126. Функция у = arcsin x 161
127. Функция у = arccos x 163
128. Функции у = arctg х, у = arcctg x 164
129. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс 165
§ 13. Преобразования графиков 168
130. Построение графика функции у = mf(x) 168
131. Графики функций у = ах2, у = ах3 169
132. Построение графика функции у = f(x - а) + b 171
133. График квадратичной функции 172
134. Способы построения графика квадратичной функции 174
135. Построение графика функции у = f(kx) 177
136. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций 179
137. График гармонического колебания y= Asin(wx + a) 180
Раздел IV. Уравнения и системы уравнений
§ 14. Уравнения с одной переменной 182
138. Определение уравнения. Корни уравнения 182
139. Равносильность уравнений 182
140. Линейные уравнения 183
141. Квадратные уравнения 184
142. Неполные квадратные уравнения 186
143. Теорема Виета 187
144. Системы и совокупности уравнений 188
145. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 189
146. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни 190
147. Уравнения с переменной в знаменателе 191
148. Область определения уравнения 192
149. Рациональные уравнения 194
150. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части
151. Решение уравнений методом введения новой переменной 196
152. Биквадратные уравнения 197
153. Уравнения высших степеней 197
154. Решение задач с помощью уравнений 199
155. Иррациональные уравнения 202
156. Показательные уравнения 204
157. Логарифмические уравнения 205
158. Показательно-логарифмические
159. Простейшие тригонометрические
160. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители 210
161. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной 212
162. Однородные тригонометрические
163. Универсальная подстановка 216
164. Метод введения вспомогательного
165. Графическое решение уравнений 219
166. Уравнения с параметром 221
§ 15. Уравнения с двумя переменными 223
167. Решение уравнения с двумя переменными 223
168. График уравнения с двумя переменными 224
169. Линейное уравнение с двумя переменными и его график 224
§16. Системы уравнений 225
170. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы 225
171. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки 226
172. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом
173. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных 228
174. Определители второго порядка. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными 230
175. Симметрические системы 233
176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными 234
177. Системы трех уравнений с тремя переменными 235
178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными 238
179. Системы показательных и логарифмических уравнений 242
180. Системы тригонометрических
Раздел V. Неравенства
§17. Решение неравенств 245
181. Основные понятия, связанные с решением неравенств 245
182. Графическое решение неравенств с одной переменной 246
183. Линейные неравенства с одной переменной 247
184. Системы неравенств с одной переменной 248
185. Совокупности неравенств с одной переменной 249
186. Дробно-линейные неравенства 250
187. Неравенства второй степени 250
188. Графическое решение неравенств второй степени 252
189. Неравенства с модулями 254
190. Решение рациональных неравенств методом промежутков 257
191. Показательные неравенства 260
192. Логарифмические неравенства 261
193. Иррациональные неравенства 263
194. Тригонометрические неравенства 264
195. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными 265
§ 18. Доказательство неравенств 266
196. Метод оценки знака разности 266
197. Синтетический метод доказательства
198. Доказательство неравенств методом от противного 269
199. Использование неравенств при решении уравнений 270
Раздел VI. Элементы комбинаторики
§ 19. Размещения, перестановки, сочетания 272
200. Размещения 272
201. Перестановки 273
202. Сочетания и их свойства. Треугольник Паскаля 275
§20. Формула бинома Ньютона 278
203. Бином Ньютона 278
204. Свойства формулы бинома Ньютона 280
Раздел VII. Элементы математического анализа
§21. Числовые последовательности 283
205. Определение последовательности 283
206. Способы задания последовательности 283
207. Возрастающие и убывающие последовательности 284
208. Определение арифметической
209. Свойства арифметической
210. Определение геометрической
211. Свойства геометрической прогрессии 288
212. Понятие о пределе последовательности 291
213. Вычисление пределов последовательностей 292
214. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1 294
§22. Предел функции 296
215. Предел функции у = f(x) при х. Горизонтальная асимптота 296
216. Вычисление пределов функций
217. Предел функции в точке. Непрерывные функции 299
218. Вертикальная асимптота 301
219. Вычисление предела функции в точке 302
§ 23. Производная 305
220. Приращение аргумента. Приращение функции 305
221. Определение производной 306
222. Формулы дифференцирования. Таблица производных 309
223. Дифференцирование суммы, произведения, частного 310
224. Сложная функция и ее дифференцирование 312
225. Физический смысл производной 314
226. Вторая производная и ее физический смысл 315
227. Касательная к графику функции 316
228. Формула Лагранжа 319
§ 24 Применения производной 319
229. Приближенные вычисления с помощью производной 319
230. Дифференциал 321
231. Применение производной к исследованию функций на возрастание (убывание) 322
232. Применение производной к исследованию функций на экстремум 324
233. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 328
234. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке 330
235. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин 331
236. Применение производной для доказательства тождеств 333
237. Применение производной для доказательства неравенств 334
238. Общая схема построения графика
§25. Первообразная и интеграл 338
239. Первообразная 338
240. Таблица первообразных 339
241. Правила вычисления первообразных 340
243. Связь между интегралом и первообразной (формула Ньютона — Лейбница) 344
244. Правила вычисления интегралов 345
245. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур 346
246. Вычисление объемов тел с помощью
247. Физические приложения интеграла 353
§ 26. Понятие о дифференциальном
248. Определение дифференциального уравнения и его решения 353
249. Дифференциальные уравнения показательного роста и показательного
250. Уравнение гармонических колебаний 357
ГЕОМЕТРИЯ
Раздел VIII. Основные понятия геометрии
§ 27. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела 359
251. Точка,прямая, луч, отрезок. Уравнение прямой на плоскости 359
252. Плоскость. Уравнение плоскости в пространстве. Фигуры и тела 362
253. Угол 365
254. Градусная и радианная меры углов 367
255. Ломаная. Многоугольник 370
256. Геометрическое место точек 374
§28. Перпендикулярные и параллельные прямые 378
258. Перпендикуляр и наклонная 378
259. Параллельные прямые 380
260. Признаки параллельности прямых 381
261. Углы с параллельными и перпендикулярными сторонами 382
§ 29 Простейшие задачи на построение 384
262. Деление отрезка пополам 384
263. Построение перпендикуляров 384
264. Построение углов 385
265. Построение прямой, параллельной данной и проходящей через данную
266. Построение пропорциональных
267. Построение касательной
268. Построение вписанной и описанной окружностей для треугольника 389
Раздел IX. Геометрические фигуры на плоскости
§30. Треугольник 390
269. Стороны и углы треугольника 390
270. Биссектриса треугольника. Окружность, вписанная в треугольник 392
271. Медиана треугольника. Средняя линия треугольника 395
272. Высота треугольника 396
273. Окружность, описанная около треугольника. Замечательные точки треугольника 398
274. Равенство треугольников 399
275. Свойства прямоугольного треугольника 401
276. Теорема косинусов. Теорема синусов 403
277. Площадь треугольника 405
278. Признаки подобия треугольников 409
§ 31. Четырехугольники 413
279. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат 413
281. Площади четырехугольников 420
§ 32. Окружность 428
282. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая 428
283. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент 429
284. Уравнение окружности 431
285. Взаимное расположение двух окружностей 431
§ 33. Углы и пропорциональные отрезки в круге 433
286. Углы с вершиной на окружности 433
287. Углы с вершиной внутри и вне круга 436
288. Четырехугольники, вписанные в окружность и описанные около нее 438
289. Пропорциональные отрезки в круге 441
290. Длина окружности 443
291. Площадь круга и его частей 444
§ 34. Правильные многоугольники 447
292. Основные определения и свойства 447
293. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой в правильном многоугольнике 448
294. Периметр и площадь правильного n-угольника 452
Раздел X. Векторы. Прямые и плоскости в пространстве
§35. Понятие вектора 454
295. Вектор. Длина вектора. Координаты вектора 454
296. Равенство векторов. Угол между векторами 457
§36. Операции над векторами 458
297. Сложение векторов 458
298. Умножение вектора на число 460
299. Коллинеарность и компланарность
300. Скалярное произведение векторов 467
301. Векторное произведение векторов 471
302. Смешанное произведение векторов 475
§ 37. Взаимное расположение прямых и плоскостей 480
303. Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые 480
304. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью 483
305. Взаимное расположение двух плоскостей. Свойства параллельных прямых и плоскостей 488
§38. Двугранные и многогранные углы 492
306. Двугранный угол 492
307. Трехгранный угол 494
Раздел XI. Многогранники и тела вращения
§ 39. Многогранники 498
308. Общие понятия 498
309. Правильные многогранники 499
310. Призма, параллелепипед, куб 502
311. Пирамида, усеченная пирамида 508
§40. Тела вращения 516
313. Конус, усеченный конус 520
315. Цилиндр, конус и шар как тела вращения 532
Основные формулы 535
Основные обозначения 608
Предметный указатель 614.