Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям - Камке Э.

Название: Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Автор: Камке Э.
1971.
    «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890 - 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.
    Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, - около 1650 уравнений с решениями - сохраняет большое значение и сейчас.


    Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).
    Книга Э. Камке содержит множество фактов и результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.
    Перевод на русский язык был заново сверен с шестым немецким изданием (1959 года); исправлены замеченные неточности, ошибки и опечатки. Все вставки, замечания и дополнения, сделанные в тексте редактором и переводчиком, заключены в квадратные скобки. В конце книги под заголовком «Дополнения» помещены сокращенные переводы (выполненные Н. X. Розовым) тех нескольких журнальных статей, дополняющих справочную часть, которые автор упомянул в шестом немецком издании.
Оглавление
Предисловие к четвертому изданию
Некоторые обозначения
Принятые сокращения в библиографических указаниях

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно  
производной: у' =f(x,y); основные понятия
1.1.  Обозначения и геометрический смысл дифференциального
уравнения
1.2.  Существование и единственность решения
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно  
производной: у' =f(x,y); методы решения
2.1.  Метод ломаных  
2.2.  Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа  
2.3.  Применение степенных рядов
2.4.  Более общий случай разложения в ряд25
2.5.  Разложение в ряд по параметру 27
2.6. Связь с уравнениями в частных производных27
2.7.  Теоремы об оценках 28
2.8.  Поведение решений при больших значениях х  30
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно32
производной: F(y', у,х)=0
3.1.  О решениях и методах решения 32
3.2.  Регулярные и особые линейные элементы33
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34
порядка
4.1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными  35
4.2.  y'=f(ax+by+c)  35
4.3.  Линейные дифференциальные уравнения 35.
4.4.  Асимптотическое поведение решений линейныхдифференциальных уравнений
4.5.  Уравнение Бернулли y'+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6.  Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним38
4.7.  Обобщенно-однородные уравнения 40
4.8.  Специальное уравнение Риккати: у'+ау2=Ьха 40
4.9.  Общее уравнение Риккати: y'=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10.  Уравнение Абеля первого рода44
4.11.  Уравнение Абеля второго рода47
4.12.  Уравнение в полных дифференциалах 49
4.13.  Интегрирующий множитель  49
4.14.  F(y',y,x)=0, "интегрирование посредством дифференцирования" 50
4.15.  (a) y=G(x, у'); (б) x=G(y, у') 50
4.16. (a) G(y ',х)=0; (б) G(y \y)=Q 51
4.17. (a) y'=g(y); (6) x=g(y') 51
4.18.  Уравнения Клеро 52
4.19.  Уравнение Лагранжа -Даламбера 52
4.20.  F(x, ху'-у, у')=0. Преобразование Лежандра53
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
§ 5. Основные понятия54
5.1.  Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
5.2.  Существование и единственность решения  54
5.3.  Теорема существования Каратеодори  5 5
5.4.  Зависимость решения от начальных условий и от параметров56
5.5. Вопросы устойчивости57
§ 6. Методы решения 59
6.1.  Метод ломаных59
6.2.  Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа59
6.3.  Применение степенных рядов 60
6.4.  Связь с уравнениями в частных производных 61
6.5.  Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
6.6.  Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
6.7. Теоремы об оценках  62
§ 7. Автономные системы  63
7.1.  Определение и геометрический смысл автономной системы 64
7.2.  О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в  случае п = 2
7.3. Критерии для определения типа особой точки  66
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 8. Произвольные линейные системы70
8.1.  Общие замечания70
8.2.  Теоремы существования и единственности. Методы решения70
8.3.  Сведение неоднородной системы к однородной71
8.4.  Теоремы об оценках  71
§ 9. Однородные линейные системы72
9.1.  Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72
9.2.  Теоремы существования и методы решения  74
9.3.  Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений75
9.4.  Сопряженная система дифференциальных уравнений76
9.5.  Самосопряженные системы дифференциальных уравнений , 76
9.6.  Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7. Фундаментальные решения78
§10. Однородные линейные системы с особыми точками 79
10.1.  Классификация особых точек 79
10.2.  Слабо особые точки80
10.3.  Сильно особые точки 82
§11. Поведение решений при больших значениях х 83
§12. Линейные системы, зависящие от параметра84
§13. Линейные системы с постоянными коэффициентами  86
13.1.  Однородные системы  83
13.2.  Системы более общего вида 87
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка  
§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89
yin)=f(x,y,y\...,y{n-\)}
§15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1.  Уравнения в полных дифференциалах90
15.2.  Обобщенно-однородные уравнения 90
15.3.  Уравнения, не содержащие явно х или у 91
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка,
§16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка92
16.1.  Общие замечания92
16.2.  Теоремы существования и единственности. Методы решения92
16.3.  Исключение производной (п-1)-го порядка94
16.4.  Сведение неоднородного дифференциального уравнения к  однородному
16.5.  Поведение решений при больших значениях х94
§17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка  95
17.1.  Свойства решений и теоремы существования 95
17.2.  Понижение порядка дифференциального уравнения96
17.3.  0 нулях решений  97
17.4.  Фундаментальные решения  97
17.5.  Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные  дифференциальные формы
17.6.  Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина  99
17.7.  О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полныхдифференциалах
§18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми101
точками
18.1.  Классификация особых точек  101
18.2.  Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая104
18.3.  Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая108
18.4.  Случай, когда точка х=% сильно особая 107
18.5.  Случай, когда точка x=inf сильно особая  108
18.6.  Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
18.7.  Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
18.8.  Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими  коэффициентами
18.9.  Случай действительного переменного112
§19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью  113
определенных интегралов
19.1.  Общий принцип  113
19.2.  Преобразование Лапласа 116
19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119
19.4.  Преобразование Меллина  120
19.5.  Преобразование Эйлера  121
19.6.  Решение с помощью двойных интегралов 123
§ 20. Поведение решений при больших значениях х 124
20.1.  Полиномиальные коэффициенты124
20.2.  Коэффициенты более общего вида 125
20.3.  Непрерывные коэффициенты  125
20.4.  Осцилляционные теоремы126
§21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от127
параметра
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных129
уравнений п-то порядка
22.1.  Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.2.  Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными130
22.3.  Уравнения Эйлера 132
22.4.  Уравнение Лапласа132
22.5.  Уравнения с полиномиальными коэффициентами133
22.6. Уравнение Похгаммера134
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка 139
23.1.  Методы решения частных типов нелинейных уравнений 139
23.2.  Некоторые дополнительные замечания140
23.3.  Теоремы о предельных значениях  141
23.4.  Осцилляционная теорема  142
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго  142
порядка
24.1.  Общие замечания142
24.2.  Некоторые методы решения  143
24.3.  Теоремы об оценках  144
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка  145
25.1.  Редукция линейных дифференциальных уравнений второго  порядка
25.2.  Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка
25.3.  Разложение решения в непрерывную дробь 149
25.4.  Общие замечания о нулях решений150
25.5.  Нули решений на конечном интервале151
25.6.  Поведение решений при х->inf  153
25.7.  Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками
25.8.  Приближенные решения. Асимптотические решения действительное переменное
25.9.  Асимптотические решения; комплексное переменное161
25.10. Метод ВБК 162
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого
порядков
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка163
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка  164
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных
уравнений
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений  165
первого порядка
28.1.  Метод ломаных165.
28.2.  Метод добавочного полушага  166
28.3.  Метод Рунге - Хейна - Кутта  167
28.4.  Комбинирование интерполяции и последовательных приближений168
28.5.  Метод Адамса 170
28.6.  Дополнения к методу Адамса  172
§ 29. Приближеннее интегрирование дифференциальных уравнений  174
высших порядков
29.1.  Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных  уравнений первого порядка
29.2.  Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка 176
29.3.  Метод Рунге-Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка
29.4.  Метод Адамса - Штермера для уравнения y"=f(x,y,y)  177
29.5.  Метод Адамса - Штермера для уравнения y"=f(x,y)  178
29.6.  Метод Блесса для уравнения y"=f(x,y,y) 179


ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных  
дифференциальных уравнений п-то порядка
§ 1. Общая теория краевых задач182
1.1. Обозначения и предварительные замечания 182
1.2. Условия разрешимости краевой задачи184
1.3. Сопряженная краевая задача  185
1.4. Самосопряженные краевые задачи 187
1.5. Функция Грина 188
1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина 190
1.7. Обобщенная функция Грина  190
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения  193
?ШУ(У)+ЫХ)У = 1(Х)
2.1.  Собственные значения и собственные функции;  характеристический детерминант А(Х)
2.2.  Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина;  полная биортогональная система
2.3.  Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях
2.4.  Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.5.  Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.6.  Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200
2.7.  Об интегральных уравнениях типа Фредгольма 204
2.8.  Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.9.  Связь между задачами о собственных значениях и интегральными  уравнениями типа Фредгольма
2.10.  Об интегральных уравнениях типа Вольтерра211
2.11.  Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.12.  Связь между задачами о собственных значениях и интегральными  уравнениями типа Вольтерра
2.13.  Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением
2.14.  Применение к разложению по собственным функциям218
2.15. Дополнительные замечания219
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и222-
краевых задач
3.1.  Приближенный метод Галеркина - Ритца222
3.2.  Приближенный метод Граммеля224
3.3.  Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина - Ритца
3.4.  Метод последовательных приближений 226
3.5.  Приближенное решение краевых задач и задач о собственных  значениях методом конечных разностей
3.6.  Метод возмущений 230
3.7.  Оценки для собственных значений 233
3.8.  Обзор способов вычисления собственных значений и собственных 236 функций
§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения238
F(y)=W(y)
4.1.  Постановка задачи  238
4.2.  Общие предварительные замечания  239
4.3.  Нормальные задачи о собственных значениях 240
4.4.  Положительно определенные задачи о собственных значениях 241
4.5.  Разложение по собственным функциям 244
§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида  247
Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем  
линейных дифференциальных уравнений
§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем  249
линейных дифференциальных уравнений
6.1.  Обозначения и условия разрешимости 249
6.2.  Сопряженная краевая задача 250
6.3.  Матрица Грина252
6.4.  Задачи о собственных значениях  252-
6.5.  Самосопряженные задачи о собственных значениях 253
Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений
низших порядков
§ 7. Задачи первого порядка256
7.1.  Линейные задачи 256
7.2.  Нелинейные задачи 257
§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка257
8.1. Общие замечания 257
8.2. Функция Грина 258
8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода259
8.4. Краевые условия при |х|->inf259
8.5. Отыскание периодических решений  260
8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости 260
§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка 261
9.1. Общие замечания 261
9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях  263
9.3.  y'=F(x,)Cjz, z'=-G(x,h)y и краевые условия самосопряженны266
9.4.  Задачи о собственных значениях и вариационный принцип269
9.5.  О практическом вычислении собственных значений и собственныхфункций
9.6.  Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные271
9.7.  Дополнительные условия более общего вида273
9.8.  Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров
9.9.  Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках 276
9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале 277
§10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях  278
второго порядка
10.1.  Краевые задачи для конечного интервала 278
10.2.  Краевые задачи для полуограниченного интервала 281
10.3.  Задачи о собственных значениях282
§11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего-  283
восьмого порядков
11.1.  Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка283
11.2.  Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка  284
11.3.  Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
11.4.  Нелинейные краевые задачи четвертого порядка  287
11.5.  Задачи о собственных значениях более высокого порядка288


ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания  290
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1-367. Дифференциальные , уравнения первой степени относительно У  294
368-517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно334
518-544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно354
545-576. Дифференциальные уравнения более общего вида358
Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка  
1-90. ау" + ...363
91-145. (ах+ЬУу" + ... 385
146-221.x2 у" + ... 396
222-250. (х2±а2)у"+...  410
251-303. (ах2 +Ьх+с)у" + ... 419
304-341. (ах3 +...)у" + ...435
342-396. (ах4 +...)у" + ...442
397-410. (ах« +...)у" + ...449
411-445. Прочие дифференциальные уравнения  454
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких
порядков
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y')  497
104- 187./(х)ху'ЧР(х,;у,;у')503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y})  514
226-249. Прочие дифференциальные уравнения  520
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более  
высоких порядков
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Предварительные замечания 530
1-18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с530
постоянными коэффициентами 19-25.
Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с534
переменными коэффициентами
26-43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше535
первого
44-57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений538
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
1-17. Системы двух дифференциальных уравнений541
18-29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений  544
ДОПОЛНЕНИЯ
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И.Зборник)  547
Дополнения к книге Э. Камке (Д.Митринович)  556
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и  568
построения их общего решения с помощью рекуррентных формул
(И.Зборник)
Предметный указатель  571