Справочник по нелинейным уравнениям математической физики, Точные решения, Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., 2002

Справочник по нелинейным уравнениям математической физики, Точные решения, Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., 2002.
   Книга содержит точные решения около 1200 нелинейных уравнений математической физики и механики. Рассматриваются уравнения параболического, гиперболического, эллиптического и других типов. Описано много новых решений нелинейных уравнений. Особое внимание уделено уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций. Помимо уравнений второго порядка рассматриваются также уравнения третьего, четвертого и более высоких порядков. В целом справочник содержит больше нелинейных уравнений математической физики и точных решений, чем любые другие книги.
Приведены решения уравнений, встречающихся в различных областях теоретической физики, механики и химической технологии (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамике, нелинейной акустике, теории горения, нелинейной оптике, ядерной физике и др.).
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей ВУЗов, инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, физики, механики, теории управления и инженерных наук.
   Точные решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений математической физики всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Точные решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких сложных нелинейных эффектов, как пространственная локализация процессов переноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях, существование режимов с обострением и др. Даже те частные точные решения дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, могут быть использованы в качестве «тестовых» задач при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов. Кроме того, допускающие точные решения модельные уравнения и задачи служат основой для разработки новых численных, асимптотических и приближенных методов, которые, в свою очередь, позволяют исследовать уже более сложные задачи тепло- и массопереноса, не имеющие точного аналитического решения.
Большинство уравнений прикладной и теоретической физики, химии и биологии содержат параметры или функции, которые находятся экспериментально и потому не строго фиксированы. В то же время уравнения, моделирующие реальные явления и процессы, должны быть достаточно просты для того, чтобы их можно было успешно проанализировать и решить. В качестве одного из возможных критериев простоты можно принять требование, чтобы модельное уравнение допускало решение в замкнутом виде. При этом особый интерес для приложений представляют собой уравнения, зависящие от произвольных функций или содержащие много свободных параметров, которые можно задавать по усмотрению исследователя.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Некоторые обозначения и замечания
1. Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной
1.1. Уравнения со степенными нелинейностями
1.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями
1.3. Уравнения с гиперболическими нелинейностями
1.4. Уравнения с логарифмическими нелинейностями
1.5. Уравнения с тригонометрическими нелинейностями
1.6. Уравнения, содержащие произвольные функции
1.7. Нелинейное уравнение Шредингера и родственные уравнения
2. Уравнения параболического типа с двумя и более пространственными переменными
2.1. Уравнения с двумя пространственными переменными
2.2. Уравнения с тремя и более пространственными переменными
3. Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной
3.1. Уравнения со степенными нелинейностями
3.2. Уравнениях экспоненциальными нелинейностями
3.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры
3.4. Уравнения, содержащие произвольные функции
4. Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными
4.1. Уравнения, содержащие произвольные параметры
4.2. Уравнения, содержащие произвольные функции
5. Уравнения эллиптического типа с двумя независимыми переменными
5.1. Уравнения со степенными нелинейностями
5.2. Уравнения с экспоненциальными нелинейностями
5.3. Уравнения, содержащие другие нелинейности
5.4. Уравнения, содержащие произвольные функции
6. Уравнения эллиптического типа с тремя и более независимыми переменными
6.1. Уравнения с тремя независимыми переменными
6.2. Уравнения с произвольным числом независимых переменных
7. Уравнения смешанного типа
7.1. Уравнения линейные относительно смешанной производной
7.2. Уравнения квадратичные относительно старших производных
7.3. Уравнение Беллмана и родственные уравнения
8. Уравнения второго порядка общего вида
8.1. Эволюционные уравнения
8.2. Уравнения, содержащие вторые производные обеих переменных
9. Уравнения третьего порядка
9.1. Уравнение Кортевега де Фриза и родственные уравнения
9.2. Уравнения гидродинамического пограничного слоя
9.3. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
9.4. Другие нелинейные уравнения третьего порядка
10. Уравнения четвертого порядка
10.1. Уравнения, содержащие вторую производную по t
10.2. Уравнения гидродинамики (уравнения Навье - Стокса)
10.3. Другие уравнения
11. Уравнения старших порядков
11.1. Эволюционные уравнения, линейные относительно старшей производной
11.2. Эволюционные уравнения общего вида
11.3. Уравнения, содержащие вторую производную
11.4. Другие уравнения Приложения
A. Методы обобщенного и функционального разделения переменных
А.1. Введение
А.2. Методы обобщенного разделения переменных
А.3. Методы функционального разделения переменных
B. Преобразования уравнений математической физики
В.1. Точечные преобразования
8.2. Преобразование годографа
8.3. Преобразование Лежапдра
8.4. Контактные преобразования
8.5. Преобразования Беклунда. Дифференциальные подстановки
С. Тест Фукса — Ковалевской — Псплсвс для нелинейных уравнений математической физики
С.1. Подвижные особенности решений обыкновенных дифференциальных уравнений
С.2. Решения уравнений с частными производными, имеющие подвижный полюс. Описание метода
С.З. Примеры применения теста Фукса — Ковалевской — Пенлеве Список литературы