Справочник по математике для средних учебных заведений, Цыпкин А.Г., 1983

Справочник по математике для средних учебных заведений, Цыпкин А.Г., 1983
   Справочник предназначен для учащихся средних школ и средних специальных учебных заведений. Он содержит все необходимые определения, формулы, теоремы и методы решения задач. В него включены, помимо классических разделов элементарной математики, такие разделы, как элементы теории множеств, комплексные числа, основы математического анализа и векторной алгебры, метод координат и т. д. Материал, излагаемый в справочнике, в основном носит теоретический характер. Новое издание справочника (второе выходило в 1981 г.); дополнено разделами, которые внедряются в школьное обучение. К ним, в частности, относится теория вероятностей.
   Справочник предназначен для учащихся средних школ я средних специальных учебных заведений и в полном объеме содержит понятия, определения, формулы, теоремы и методы решения задач, входящие в курс математики средних учебных заведений. Кроме того, в справочник дополнительно включен ряд разделов, необходимых как для более глубокого понимания основ математики, так и для выявления связей между различными разделами математики. К дополнительному материалу, в частности, относятся: делимость целых чисел и многочленов, алгоритм Евклида, комплексные числа, основная теорема алгебры, кривые второго порядка, понятия эквивалентности и изоморфизма множеств, элементы теории вероятностей, начала теории дифференциальных уравнений, основные сведения о матрицах и определителях и т. д.
    В большинстве разделов изложение материала ведется без использования теоретико-множественной концепции и поэтому отличается от принятого в настоящее время в учебниках для средней школы. К таким разделам относится прежде всего геометрия, построение которой на основе теории множеств приводит к ряду как терминологических, так и смысловых несообразностей. Поэтому геометрический материал излагается в справочнике на основе аксиоматики Гильберта и с использованием традиционной терминологии. Кроме того, в справочнике иным способом определены вектор, числовая последовательность определенный, интеграл и некоторые другие понятия.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 9
От автора 11
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 13
§ 1. Множества и операции над множествами 13
1.1. Множества и подмножества.
1.2. Операции над множествами,
1.3. Упорядоченные множества.
§ 2. Соответствие между множествами и отображение множеств 17
2.1. Соответствие и отображение.
2.2. Взаимно однозначное отображение.
2.3. Эквивалентность множеств
2.4. Классификация множеств.
§ 3. Множества с бинарными операциями 21
3.1. Бинарные операции в множествах.
3.2. Изоморфизм множеств.
3.3. Группы.
3.4. Кольца.
3.5. Поля,
Глава 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 26
§ 1. Натуральные числа 27
1.1. Множество натуральных чисел.
1.2. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел.
1.3. Простые числа. Основная теорема арифметики.
1.4. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
1.5. Наименьшее общее кратное. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
§ 2. Целые числа 35
2.1. Множество - целых чисел.
2.2. Арифметические операции с целыми числами.
2.3. Теория целых чисел как упорядоченных пар натуральных чисел.
§ 3. Рациональные числа 40
3.1. Рациональные дроби.
3.2. Рациональные числа.
3.3. Теория рациональных чисел как упорядоченных пар целых чисел.
§ 4. Десятичные дроби 46
4.1. Десятичная позиционная система счисления.
4.2. Понятие десятичной дроби.
4.3. Арифметические действия с конечными десятичными дробями.
4.4. Обращение конечной десятичной дроби в рациональную дробь.
4.5. Обращение бесконечной периодической дроби в рациональную дробь.
4.6. Десятичные представления рациональных чисел.
4.7. Непрерывные дроби.
§ 5. Действительные числа 57
5.1. Множество действительных чисел.
5.2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел.
5.3. Представление действительных чисел десятичными дробями.
5.4. Геометрическое изображение множества действительных чисел.
5.5. Степени и корни.
5.6. Логарифмы.
5.7. Пропорции.
5.8. Десятичные представления иррациональных чисел.
5.9. Некоторые способы доказательства иррациональности чисел.
5.10. Алгебраические и трансцендентные числа,
§ 6. Приближенные вычисления 71
6.1. Приближенное значение числа и погрешности.
6.2. Десятичная запись приближенных значений числа.
6.3. Округление чисел. 6.4. Метод касательных.
6.5. Алгоритмы извлечения квадратного корня.
Глава 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 78
§ 1. Множество комплексных чисел 79
1.1. Аксиоматическое построение.
1.2. Теория комплексны n чисел как упорядоченных пар действительных чисел»
§ 2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма записи комплексных чисел 83
2.1. Геометрическое изображение комплексного числа.
2.2. Геометрическое изображение суммы и разности.
2.3, Тригонометрическая форма записи.
§ 3. Степень комплексного числа 86
3.1. Натуральная степень комплексного числа.
3.2. Корень n-й степени из комплексного числа.
Глава 4. АЛГЕБРА 88
§ 1. Многочлены одного переменного 88
1.1. Понятие многочлена. Арифметические операции над многочленами
1.2. Делители многочлена.
1.3. Деление многочленов.
1.4. Алгоритм Евклида.
1.5. Корни многочлена.
1.6. Формулы сокращённого умножения.
1.7. Формулы Виета.
1.8. Основная теорема алгебры.
1.9. Разложение многочлена на множители.
1.10. Некоторые следствия основной теоремы алгебры.
§ 2. Многочлены нескольких переменных 98
2.1. Одночлены и многочлены нескольких переменных
2.2. Лексикографическое расположение членов многочлена.
§ 3. Рациональные алгебраические дроби 100
3.1. Множество рациональных алгебраических дробей,
3.2. Правильные алгебраические дроби.
3.3. Простейшие дроби.
§ 4. Иррациональные алгебраические выражения 105
§ 5. Уравнения. Алгебраические уравнения 108
5.1. Основные определения.
5.2. Линейное уравнение.
5.3. Квадратное уравнение.
5.4. Кубичное уравнение.
5.5. Уравнения четвертой степени.
5.6. Двучленные уравнения.
5.7. Решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
5.8. Рациональные алгебраические уравнения.
5.9. Иррациональные уравнения.
5.10. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
5.11. Решение уравнений в множестве комплексных чисел.
5.12. Диофантовы уравнения.
§ 6. Трансцендентные уравнения 124
6.1. Показательные уравнения.
6.2. Логарифмические уравнения.
§ 7. Системы уравнений 128
7.1. Основные определения.
7.2. Системы линейных уравнений.
7.3. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
7.4. Некоторые способы решения систем нелинейных алгебраических уравнений.
§ 8. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей 137
8.1. Матрицы и операции над ними.
8.2. Определители.
8.3. Ранг матрицы.
8.4. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.
§ 9. Неравенства 151
9.1. Определения и основные свойства неравенств.
9.2. Некоторые важные неравенства.
§ 10. Решение неравенств и систем неравенств 154
10.1. Основные определения.
10.2. Линейные неравенства и системы неравенств.
10.3. Квадратные „неравенства.
10.4. Метод интервалов.
10.5. Решение иррациональных неравенств.
10.6. Показательные неравенства.
10.7. Логарифмические не» равенства,
10.8. Геометрическое изображение множества решений неравенства с двумя неизвестными.
§11. Приемы доказательства справедливости неравенств 166
11.1. Доказательство с помощью цепочки эквивалентных не-» равенств.
11.2. Доказательство с использованием свойств функций, входящих в неравенства.
11.3. Некоторые специальные приемы доказательства.
11.4. Некоторые способы проверки справедливости числовых неравенств.
Глава 5. ГЕОМЕТРИЯ 173
§ 1. Луч. Отрезок 173
1.1. Луч.
1.2. Отрезок»
§ 2. Углы на плоскости 175
2.1. Понятие угла.
2.2. Градусная мера измерения углов.
2.3. Радианная мера измерения углов.
2.4. Классификация углов.
2.5. Угол между направлениями.
§ 3. Параллельность и перпендикулярность на плоскости 177
3.1. Параллельность на плоскости.
3.2. Перпендикулярность на плоскости.
3.3. Расстояние от точки до прямой.
§ 4. Параллельность и перпендикулярность в пространстве 179
4.1. Параллельность прямой и плоскости.
4.2. Параллельность плоскостей.
4.3. Перпендикулярность прямой и плоскости.
4.4. Расстояние от точки до плоскости.
4.5. Перпендикулярность плоскостей.
4.6. Наклонная.
4.7. Скрещивающиеся прямые.
§ 5. Проектирование на плоскость 181
5.1. Параллельное проектирование.
5.2. Ортогональное проектирование.
§ 6. Углы в пространстве 182
6.1. Угол между наклонной и плоскостью.
6.2. Двугранный угол.
6.3. Угол между двумя плоскостями.
§ 7. Ломаная. Многоугольник 183
§ 8. Треугольники 185
8.1. Основные свойства.
8.2. Медианы треугольника.
8.3. Высоты треугольника.
8.4. Биссектрисы треугольника.
8.5. Средняя линия треугольника.
8.6. Равнобедренный треугольник.
8.7. Равносторонний треугольник.
8.8. Прямоугольный треугольник
§ 9. Четырехугольники 189
9.1. Параллелограмм.
9.2. Ромб.
9.3. Прямоугольник.
9.4. Квадрат.
9.5. Трапеция.
§ 10. Подобные многоугольники 191
10.1. Признак подобия многоугольников.
10.2. Признаки подобия треугольников.
§ 11. Окружность и круг 193
11.1. Окружность и круг.
11.2. Касательная и секущая.
11.3. Взаимное расположение двух окружностей.
11.4. Центральные углы и дуги окружности.
11.5. Дуги и хорды окружности.
11.6. Углы в окружности.
11.7. Длины и площади в окружности и круге.
§ 12. Многоугольники и окружность 197
12.1. Вписанные и описанные многоугольники.
12.2. Вписанные треугольники.
12.3. Описанные -треугольники.
12.4. Вневписанная окружность.
12.5. Соотношения между сторонами треугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей
12.6. Вписанные четырехугольники.
12.7. Описанные четырехугольники.
§ 13. Геометрические построения 200
13.1. Построение прямых, параллельных и перпендикулярных данной прямой,
13.2. Построение углов, 13,3. Построение отрезков.
13.4. Построение окружностей и дуг.
13.5. Построение касательных к окружностям.
13.6. Построение окружности,, описанной около многоугольника, и многоугольника, вписанного в окружность. 13.7. Построение окружности, вписанной в многоугольник, и многоугольника, описанного около окружности. 13.8. Построение треугольников.
§ 14. Многогранный угол 213
§ 15. Многогранная поверхность. Многогранник 215
§ 16. Призма 216
§ 17. Параллелепипед. Куб 217
§ 18. Пирамида. Усеченная пирамида 218
§ 19. Правильные многогранники 220
§ 20. Цилиндр 222
§ 21. Конус. Усеченный конус 223
§ 22. Сфера. Шар 225
§ 23. Части шара 226
23.1. Шаровой сегмент.
23.2. Шаровой сектор.
23.3. Шаровой слой.
23.4. Шаровой пояс.
23.5* Телесный угол,
§ 24. Преобразования плоскости и пространства 228
24.1. Отображение фигуры в фигуру и отображение фигуры" на фигуру.
24.2. Преобразование плоскости и пространства.
24.3. Изометрия пространства и плоскости. Равенство фигур.
24.4. Поворот плоскости вокруг точки.
24.5. Центральная симметрия и центрально-симметричные фигуры.
24.6. Осевая симметрия плоскости.
24.7. Осевая симметрия пространства.
24.8. Симметрия относительно плоскости.
24.9. Гомотетия плоскости.
24.10. Гомотетия пространства.
24.11. Преобразование подобия плоскости.
24.12. Подобные фигуры.
§ 25. Система аксиом и неопределяемых понятий геометрии (по Гильберту) 236
Глава 6. ТРИГОНОМЕТРИЯ 240
§ 1. Тригонометрические функции. 240
1.1. Обобщение понятия угла.
1.2. Тригонометрические функции.
1.3. Квадранты единичной окружности.
1.4. Тригонометрические функции числового аргумента.
1.5. Обратные тригонометрические функции.
1.6. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
§ 2. Тригонометрические формулы 253
2.1. Формулы приведения.
2.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
2.3. Тригонометрические функции суммы и разности углов.
2.4. Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных углов.
2.5. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
2.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
2.7. Простейшие соотношения между обратными тригонометрическими функциями.
§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств 258
3.1. Простейшие тригонометрические уравнения.
3.2. Примеры более сложных тригонометрических уравнений
3.3. Решение простейших тригонометрических неравенств.
3.4. Примеры решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
§ 4. Соотношения между элементами треугольника 266
4.1. Основные формулы.
4.2. Вычисление элементов треугольника.
Глава 7. МЕТОД КООРДИНАТ 271
§ 1. Системы координат 271
1.1. Координатная ось.
1.2. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
1.3. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами.
1.4. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.
§ 2. Линии на плоскости и поверхности в пространстве 276
2.1. Линии первого и второго порядка.
2.2. Прямая.
2.3. Окружность
2.4. Эллипс.
2.5. Гипербола
2.6. Парабола.
2.7. Плоскость и шар.
§ 3. Векторы 285
3.1. Векторы. Основные понятия.
3.2. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
3.3. Координаты вектора на плоскости.
3.4. Координаты вектора в пространстве.
3.5. Векторное произведение.
3.6. Смешанное произведение векторов.
Глава 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 295
§ 1. Числовые последовательности 4 295
1.1. Понятие числовой последовательности.
1.2. Некоторые способы задания последовательностей.
1.3. Геометрическое изображение членов последовательности.
1.4. Ограниченные последовательности.
1.5. Монотонные последовательности.
§ 2. Предел последовательности 299
2.1. Понятие предела последовательности.
2.2. Необходимое условие сходимости последовательности.
2.3. Теоремы о пределах последовательностей.
2.4. Достаточное условие сходимости последовательности.
2.5. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
§ 3. Числовые ряды и бесконечные произведения 311
3.1. Понятие числового ряда.
3.2. Положительные числовые ряды.
3.3. Признаки сходимости числовых рядов.
3.4. Понятие бесконечного произведения.
3.5. Связь бесконечных произведений с рядами
§ 4. Прогрессии 318
4.1. Арифметическая прогрессия.
4.2. Геометрическая прогрессия.
§ 5. Числовые функции 319
5.1. Понятие числовой функции.
5.2. Способы задания функций.
5.3. Сумма, произведение, разность и частное двух функций.
5.4. Сложная функция. 5.5. Четные и нечетные функции.
5.6. Периодические функции.
5.7. Ограниченные функции
5.8. Монотонные функции.
5.9. Понятие обратной функции.
§ 6. Предел функции 328
6.1. Понятие предела функции.
6.2. Односторонние пределы.
6.3. Теоремы о пределах функций.
6.4. Некоторые важные пределы
§ 7. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 337
7.1. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.
7.2. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.
§ 8. Непрерывность (и разрывы) функций 340
8.1. Понятие непрерывности функций.
8.2. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.
8.3. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов функций.
Глава 9. НАЧАЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 344
§ 1. Производная 344
1.1. Понятие производной.
1.2. Геометрическая интерпретация производной.
1.3. Кинематический смысл производной.
1.4. Теоремы о производных.
1.5. Вычисление производных элементарных функций
1.6. Производные высшего порядка.
1.7. Производные функции, заданной в параметрической форме»
§ 2. Дифференциал 355
2.1. Понятие дифференциала.
2.2. Геометрическая интерпретация дифференциала.
2.3. Инвариантность дифференциала
§ 3. Исследование функций. Построение графика функции 358
3.1. Условия постоянства и монотонности функций.
3.2. Максимумы и минимумы функции.
3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
3.4. Направление вогнутости кривой
3.5. Асимптоты.
3.6. Построение графика функции.
§ 4. Первообразная. Неопределенный интеграл 367
4.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла
4.2. Простейшие правила интегрирования.
4.3. Метод интегрирования по частям.
4.4. Интегрирование методом замены переменной.
4.5. Некоторые классы интегрируемых функций. Подстановки Эйлера.
§ 5. Определенный интеграл 380
5.1. Задача вычисления площади плоской фигуры.
5.2. Понятие определенного интеграла.
5.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная; формула интегрального исчисления.
5.4. Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла.
§ 6. Дифференциальные уравнения 389
6.1. Понятие дифференциального уравнения.
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
6.3. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка.
6.4. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Примеры дифференциальных уравнений второго порядка. 6.5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
§ 7. Функции нескольких переменных 405
7.1. Понятие функциональной зависимости между несколькими переменными.
7.2. Предел и непрерывность функций двух независимых переменных.
7.3. Понятие частной производной.
7.4. Экстремумы функции двух независимых переменных.
Глава 10. КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 412
§ 1. Метод математической индукции 412
§ 2. Комбинаторика 414
2.1. Перестановки.
2.2. Подстановки.
2.3. Размещения.
2.4. Сочетания.
2.5. Бином Ньютона.
2.6. Перестановки с повторениями.
2.7. Сочетания с повторениями.
§ 3. Элементы теории вероятностей 423
3.1. Испытание. Исход. Событие.
3.2. Операции над событиями.
3.3. Понятие вероятности.
3.4. Условная вероятность.
3.5. Формула полной вероятности.
3.6. "Формула Бернулли.
ПРИЛОЖЕНИЯ 433
I. Элементарные функции 433
II. Системы счисления 442
Основные формулы 447
Литература 461
Список основных обозначений 466
Предметный указатель 469