Справочник по математике для экономистов. Ермаков В.И., 2009

Название: Справочник по математике для экономистов.
Автор: Ермаков В.И.
2009
Справочник содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ. Имеется раздел, посвященный вопросам рыночного равновесия.


Содержание
Предисловие 3
Раздел I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 4
1.1. Постоянные величины 4
1.2. Основные алгебраические формулы 4
1.3. Основные тригонометрические формулы 5
1.4. Натуральные числа. Разложение на простые множители 6
1.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 6
1.6. Обыкновенные и десятичные дроби 7
1.7. Проценты 9
1.8. Пропорции 10
1.9. Абсолютная величина (модуль) действительного числа 10
1.10. Средние величины 11
1.11. Прогрессии и конечные суммы 11
1.12. Факториал 12
1.13. Размещения, перестановки, сочетания 13
1.14. Степени и корни 14
1.15. Бином Ньютона 15
1.16. Логарифмы 15
1.17. Многочлены 16
1.18. Рациональные дроби 18
1.19. Графики элементарных функций 18
1.20. Графики неэлементарных функций и важнейшие кривые 27
1.21. Понятие множества 29
1.22. Операции над множествами 30
1.23. Отображение. Функция 32
1.24. Мощность множества 33
1.25. Числовые множества. Грани числового множества 34
1.26. Комплексные числа 35
1.27. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве... 38
1.27.1. Система декартовых координат на плоскости и в пространстве 38
1.27.2. Системы геометрических и алгебраических векторов 38
1.27.3. Операции в векторных системах 39
1.27.4. Уравнения прямой на плоскости 40
1.27.5. Кривые второго порядка на плоскости 42
1.27.6. Уравнения плоскости в пространстве 44
1.27.7. Формы задания прямой в пространстве 45
1.27.8. Угол между прямой и плоскостью 46
Раздел II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 47
2.1. Линейные уравнения 47
2.2. Системы линейных уравнений 47
2.3. Разрешенные системы линейных уравнений 48
2.4. Метод Гаусса построения общего решения системы линейных уравнений 50
2.5. л-мерные векторы и операции с ними 55
2.6. Длина вектора. Угол между л-мерными векторами 56
2.7. Линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений 57
2.8. Разложение вектора по системе векторов 58
2.9. Линейная зависимость векторов 60
2.10. Базис и ранг системы векторов 61
2.11. Условия совместности и определенности системы линейных уравнений 63
2.12. Однородные системы линейных уравнений 63
2.13. Общее решение системы линейных уравнений в векторной форме 65
2.14. Ортогональные системы векторов 66
2.15. Матрицы 67
2.16. Умножение матрицы на число и сложение матриц 68
2.17. Умножение матриц 68
2.18. Блочные матрицы и действия с ними 70
2.19. Умножение матрицы на вектор 72
2.20. Векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений 73
2.21. Обратная матрица 73
2.22. Транспонирование матрицы 75
2.23. Ранг матрицы 76
2.24. Симметрические и ортогональные матрицы 76
2.25. Определители квадратных матриц 77
2.26. Разложение определителя по строке и столбцу 79
2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей 80
2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей 82
2.29. Собственные векторы и собственные значения матрицы 83
2.30. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду 84
2.31. Положительные матрицы 86
2.32. Квадратичные формы 87
2.33. Применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей 89
2.34. Динамическая модель планирования 90
2.35. Линейная модель производства 90
Раздел III. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО R 92
3.1. Точки в л-мерном пространстве. Расстояние между точками 92
3.2. Окрестность точки в л-мерном пространстве 93
3.3. Ограниченные множества в л-мерном пространстве 93
3.4. Внутренние и граничные точки множества в л-мерном пространстве.. 94
3.5. Предельные точки множества в л-мерном пространстве 94
3.6. Замкнутые и открытые множества в R" 95
3.7. Последовательности л-мерных точек 96
3.8. Предел последовательности 96
3.9. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности 98
3.10. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей... 99
3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей) 100
3.12. Монотонные последовательности. Число е 100
3.13. Выпуклые множества в n-мерном пространстве 101
3.14. Крайние точки выпуклых множеств 102
3.15. Непрерывные отображения пространства и неподвижные точки 103
3.16. Точечно-множественные (многозначные) отображения пространства R" 104
3.17. Подпространства пространства R" 104
3.18. Выпуклые конусы в пространстве R" 105
3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R" 107
Раздел IV. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
4.1. Понятие функции 109
4.2. Область определения и множество значений функции 109
4.3. Ограниченные функции ПО
4.4. Сложные функции (суперпозиции) 111
4.5. Неявные функции 112
4.6. Параметрическое задание функций 112
4.7. Выпуклые и вогнутые функции 113
4.8. Специфические свойства функций одной переменной 114
4.9. Обратная функция 116
4.10. Понятие предела функции 117
4.11. Некоторые замечательные пределы 118
4.12. Свойства функций, имеющих предел 119
4.13. Предел функции при х->°° 119
4.14. Односторонние пределы 120
4.15. Основные теоремы о пределах 121
4.16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 122
4.17. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые 124
4.18. Асимптоты графика функции одной переменной 125
4.19. Понятие непрерывности функции в точке 127
4.20. Свойства функций, непрерывных в точке 128
4.21. Свойства функций, непрерывных на множестве 128
4.22. Непрерывность сложной функции 129
4.23. Односторонняя непрерывность 130
4.24. Непрерывность обратной функции 130
4.25. Точки разрыва функции 131
Раздел V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 133
5.1. Производная 133
5.2. Дифференцируемость и дифференциал функции 134
5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 135
5.4. Физический смысл производной и дифференциала 137
5.5. Приложения производной к экономике 137
5.6. Правила вычисления производных и дифференциалов 139
5.7. Таблица производных 140
5.8. Производная и дифференциал сложной функции 140
5.9. Логарифмическое дифференцирование 141
5.10. Производные и дифференциалы высших порядков 142
5.11. Производная обратной функции 144
5.12. Производная параметрически заданной функции 144
5.13. Производная неявно заданной функции 145
5.14. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 145
5.15. Формула Тейлора 147
5.16. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 148
5.17. Признаки монотонности функции 150
5.18. Экстремум функции 150
5.19. Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве 152
5.20. Направление выпуклости графика функции 154
5.21. Точки перегиба графика функции 155
5.22. Общая схема исследования функции 156
Раздел VI.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 158
6.1. Частные производные функций нескольких переменных 158
6.2. Полное приращение функции нескольких переменных 159
6.3. Дифференцируемость функций нескольких переменных 160
6.4. Дифференциал функции нескольких переменных 161
6.5. Градиент функции нескольких переменных 162
6.6. Частные производные высших порядков 163
6.7. Экстремумы функций нескольких переменных 164
6.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных 165
6.9. Системы функциональных уравнений и неравенств 167
6.10. Особые точки множества 168
6.11. Условные экстремумы функций нескольких переменных 169
6.12. Наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств 171
6.13. Экстремумы выпуклых и вогнутых функций 172
Раздел VII. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 173
7.1. Первообразная и неопределенный интеграл 173
7.2. Таблица основных интегралов 173
7.3. Свойства неопределенного интеграла 174
7.4. Методы интегрирования 175
7.5. Определенный интеграл 180
7.6. Основные свойства определенного интеграла 181
7.7. Вычисление определенных интегралов 182
7.8. Геометрические приложения определенного интеграла 182
7.9. Несобственные интегралы 183
7.10. Кратные интегралы 186
7.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения 192
7.12. Дифференциальные уравнения первого порядка 194
7.13. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка 196
7.14. Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами 197
7.15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 200
7.16. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 203
Раздел VIII. РЯДЫ 206
8.1. Сумма числового ряда 206
8.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов 207
8.3. Признаки сходимости положительных числовых рядов 208
8.4. Абсолютная и условная сходимость рядов 210
8.5. Сходимость функциональных рядов 211
8.6. Функциональные свойства суммы ряда 212
8.7. Степенные ряды 212
8.8. Разложение функций в степенные ряды 214
8.9. Тригонометрические ряды 215
8.10. Ряды Фурье 216
8.11. Приложения рядов 218
Раздел IX. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 220
9.1. Оптимизационные задачи 220
9.2. Задачи линейного программирования 221
9.3. Графический метод решения двумерных задач линейного программирования 224
9.4. Каноническая форма задачи линейного программирования 227
9.5. Опорные решения задачи линейного программирования в канонической форме 228
9.6. Признак оптимальности опорного решения задачи линейного программирования в канонической форме. Условие неограниченности целевой функции 230
9.7. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом... 233
9.8. Метод искусственного базиса для отыскания начального опорного решения 237
9.9. Взаимно двойственные задачи линейного программирования 238
9.10. Теоремы двойственности в линейном программировании 240
9.11. Экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании 242
9.12. Транспортная задача 244
9.13. Опорные решения транспортной задачи 246
9.14. Решение транспортной задачи методом потенциалов 249
9.15. Параметрические задачи линейного программирования 251
9.16. Целочисленные задачи линейного программирования 253
9.17. Метод отсечений для целочисленных задач линейного программирования 256
9.18. Метод ветвей и границ для целочисленных задач линейного программирования 258
9.19. Метод Беллмана для решения целочисленных задач линейного программирования 261
9.20. Задачи нелинейного программирования 263
9.21. Задачи выпуклого программирования 266
9.22. Задачи выпуклого квадратичного программирования 268
9.23. Приближенные методы решения задач нелинейного программирования 270
9.24. Метод возможных направлений для решения задач выпуклого программирования 272
9.25. Простейшие задачи вариационного исчисления 275
9.26. Задачи оптимального управления 279
Раздел X. ТЕОРИЯ ИГР 282
10.1. Бескоалиционные игры нескольких лиц 282
10.2. Бескоалиционные игры двух лиц 284
10.3. Ситуации равновесия в бескоалиционных играх 286
10.4. Ситуации равновесия в антагонистических играх 289
10.5. Ситуации равновесия в матричных играх 291
10.6. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр 293
10.7. Смешанные расширения конечных бескоалиционных игр 293
10.8. Ситуации равновесия в смешанных стратегиях 296
10.9. Матричные игры: ситуация равновесия в смешанных стратегиях 299
10.10. Классические кооперативные игры 301
10.11. Дележи в кооперативных играх, с-ядро 303
10.12. л-ядро кооперативной игры 305
Раздел XI. ГРАФЫ И СЕТИ 307
11.1. Основные понятия теории графов 307
11.2. Связные графы 309
11.3. Подграфы 310
11.4. Операции над графами 310
11.5. Деревья 311
11.6. Лес. Разрезы 312
11.7. Эйлеровы и гамильтоновы графы 314
11.8. Ориентированные графы 315
11.9. Матрицы графов 316
11.10. Максимальные потоки в сети 317
11.11. Задача о кратчайшем пути между двумя вершинами графа 321
11.12. Алгоритм построения деревьев 323
11.13. Задачи сетевого планирования 325
Раздел XII. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 333
12.1. Задача интерполяции 333
12.2. Конечные разности 334
12.3. Интерполяционная формула Лагранжа 335
12.4. Интерполяционные формулы Ньютона 336
12.5. Интерполяционные формулы Стирлинга и Бесселя 339
12.6. Интерполирование сплайнами 341
Раздел XIII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 345
13.1. Случайные события 345
13.2. Вероятность события 346
13.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей 347
13.4. Формула полной вероятности и формула Байеса 349
13.5. Распределение вероятностей события. Формулы Бернулли и Пуассона 350
13.6. Случайные величины 351
13.7. Функция распределения и плотность распределения случайной величины 352
13.8. Математическое ожидание случайной величины 353
13.9. Дисперсия случайной величины 353
13.10. Векторные случайные величины 354
13.11. Числовые характеристики векторных случайных величин 355
13.12. Начальные и центральные теоретические моменты случайных величин 357
13.13. Примеры законов распределения случайных величин 358
13.14. Случайные функции. Законы распределения 359
13.15. Математическое ожидание случайной функции 359
13.16. Корреляционная функция случайной функции 360
13.17. Каноническое разложение случайной функции 360
13.18. Стационарные случайные функции 361
13.19. Марковские случайные процессы. Марковская цепь 362
13.20. Предельные теоремы теории вероятностей 363
13.20.1. Асимптотические предельные теоремы. Закон больших чисел 363
13.20.2. Обоснование закона больших чисел. Теорема Чебышева 365
13.20.3. Центральные предельные теоремы. Теорема и неравенство Ляпунова 366
13.20.4. Общее сравнение предельных законов дискретных и непрерывных величин. Усиленный закон больших чисел .. 369
Раздел XIV. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 372
14.1. Генеральная и выборочная совокупности 372
14.2. Вариационный ряд 372
14.3. Полигон и гистограмма 373
14.4. Эмпирическая функция распределения 374
14.5. Выборочная средняя и выборочная дисперсия 375
14.6. Начальные и центральные эмпирические моменты 375
14.7. Оценки параметров распределения 376
14.8. Точечная и интервальная оценки 377
14.9. Метод моментов 377
14.10. Метод наибольшего правдоподобия 378
14.11. Построение доверительного интервала 379
14.12. Статистические гипотезы и их проверка 381
14.13. Временные ряды 383
14.13.1. Основные понятия и определения 383
14.13.2. Выявление тренда во временных рядах 385
14.13.3. Вычисление значений выборочных автокорреляционных функций 387
14.13.4. Модели авторегрессии временных рядов 391
14.13.5. Разностные модели. Модель Бокса - Дженкинса 392
Раздел XV. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 395
15.1. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) 395
15.1.1. Основные положения метода 395
15.1.2. Моделирование равномерно распределенных случайных чисел 397
15.1.3. Получение случайных чисел с заданным законом распределения 399
15.1.4. Практическое получение нормально распределенной случайной величины 400
15.2. Метод наименьших квадратов 402
15.3. Корреляционный анализ 407
15.3.1. Статистические оценки корреляционных связей 407
15.3.2. Ранговая корреляция 411
15.3.3. Множественный коэффициент корреляции. Мультиколлинеарность 417
15.4. Дисперсионный анализ 418
15.5. Регрессионный анализ 420
15.6. Планирование эксперимента 422
15.7. Методы статистического прогноза 423
Раздел XVI. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 428
16.1. Классификация систем массового обслуживания 428
16.2. Показатели эффективности систем массового обслуживания 429
16.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний 432
16.4. Системы массового обслуживания с отказами 434
16.5. Системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди .. 435
16.6. Системы массового обслуживания с ожиданием 436
16.7. Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания 437
16.8. Замкнутые системы массового обслуживания 439
Раздел XVII. РЫНОЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ 441
17.1. Технологические множества 441
17.2. Поле предпочтений потребителя 442
17.3. Модель дезагрегированной экономики и конкурентное равновесие .. 444
Приложения 447
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Современный уровень требований, предъявляемых к экономической теории и практике, обязывает специалистов этого профиля постоянно знакомиться с передовыми идеями модельной структуризации и анализа. В последние годы значительный вес в экономических исследованиях приобрели математические методы. По существу, настольной книгой каждого экономиста должно быть пособие по математике, содержащее теоретические и прикладные сведения математического характера.
В данном справочнике, подготовленном группой преподавателей РЭА им. Г.В. Плеханова, приведены те разделы математики, которые в настоящее время применяются при анализе экономических систем. Материал соответствует программам подготовки экономистов широкого профиля в экономических ВУЗах и колледжах.
В третьем издании справочника добавлены новые материалы по аналитической геометрии, а также расширен раздел по статистическим методам анализа, в частности представлены основные сведения о временных рядах, корреляционном анализе. По сравнению со вторым изданием более подробно рассмотрен метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В небольшом объеме включен материал по предельным теоремам теории вероятностей.