Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В.В., 1995

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В.В., 1995.
   Книга посвящена активно развивающемуся направлению классической механики — теории интегрирования уравнений Гамильтона. Впервые излагается систематический анализ причин неинтегрируемого поведения гамильтоновых систем: сложное строение пространства положений, малые знаменатели, расщепление асимптотических поверхностей, рождение изолированных периодических решений, ветвление решений в плоскости комплексного времени, квазислучайные режимы колебаний. Изложены методы интегрирования гамильтоновых систем, перечислены многие точно решенные задачи. Результаты общего характера проиллюстрированы примерами из небесной механики, динамики твердого тела, гидродинамики и математической физики.
Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией динамических систем, студентов и аспирантов университетов.

РАСЩЕПЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t ? ± ?. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная: асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. “Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... ” (А. Пуанкаре [146]).
В этой главе изложены восходящие к А. Пуанкаре способы доказательства неинтегрируемости, основанные на анализе асимптотических поверхностей гамильтоновых систем, мало отличающихся от вполне интегрируемых.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие  
Введение  
Глава I. Гамильтонова механика
§1. Уравнения Гамильтона
§2. Уравнения Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли
§3. Движение твердого тела
§4. Колебания маятников  
§5. Некоторые задачи небесной механики  
§6. Системы взаимодействующих частиц  
§7. Неголономные системы
§8. Некоторые задачи математической физики
§9. Задача распознавания гамильтоновости динамических систем
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем  
§1. Интегралы. Классы интегралов гамильтоновых систем  
§2. Инвариантные соотношения  
§3. Группы симметрий  
§4. Полная интегрируемость
§5. Примеры вполне интегрируемых систем
§6. Изоморфизмы некоторых интегрируемых гамильтоновых систем
§7. Разделение переменных  
§8. Представление Гейзенберга  
§9. Алгебраически интегрируемые системы
§10. Теория возмущений
§11. Нормальные формы   
Глава III. Топологические и геометрические препятствия к полной интегрируемости
§1. Топология пространства положений интегрируемой системы  
§2. Доказательство теорем о неинтегрируемости
§3. Геометрические препятствия к интегрируемости
§4. Системы с гироскопическими силами
§5. Интегралы общего положения  
§6. Топологические препятствия к существованию линейных интегралов  
§7. Топология пространства положений обратимой системы с нетривиальной группой симметрий
§8. Симметрии геодезических потоков на торе
§9. Симметрии, интегралы и топология динамических систем с двумя степенями свободы
Глава IV. Не интегрируемость гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых
§1. Метод Пуанкаре   
§2. Приложения метода Пуанкаре
§3. Группы симметрий  
§4. Обратимые системы с торическим пространством положений    
§5. Критерий интегрируемости для случая, когда потенциал является тригонометрическим многочленом
§6. Некоторые обобщения  
§7. Приложение к системам взаимодействующих частиц
§8. Рождение изолированных периодических решений как препятствие к интегрируемости
§9. Невырожденные инвариантные торы
§10. Рождение гиперболических инвариантных торов
§11. Неавтономные системы
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей  
§1. Асимптотические поверхности и условия их расщепления  
§2. Теоремы о неинтегрируемости  
§3. Некоторые приложения
§4. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа  
§5. Бифуркации сепаратрис
§6. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений
§7. Асимптотические поверхности неустойчивых положений равновесия  
§8. Символическая динамика  
Глава VI. Неинтегрируемость в окрестности положений равновесия
§1. Метод Зигеля
§2. Неинтегрируемость обратимых систем
§3. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра  
§4. Поля симметрий в окрестности положений равновесия  
Глава VII. Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов
§1. Метод малого параметра Пуанкаре
§2. Ветвление решений и полиномиальные интегралы в обратимой системе на торе
§3. Интегралы и группы симметрий квазиоднородных систем дифференциальных уравнений
§4. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды  
§5. Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами
Глава VIII. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем
§1. Метод Биркгофа
§2. Влияние гироскопических сил на существование полиномиальных интегралов
§3. Полиномиальные интегралы систем с полутора степенями свободы
§4. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием  
§5. Возмущения гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными поверхностями  
§6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков  
Список литературы
Предметный указатель.