Сборник задач по высшей математике для экономистов - Ермакова В.И.

Название: Сборник задач по высшей математике для экономистов.
Автор: Ермакова В.И.
2003.
    Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта. В нем рассмотрены все основные вопросы авторского права: история становления и развития; субъекты и объекты авторского права; договоры, заключаемые автором произведения; права, смежные с авторскими; защита авторских и смежных прав. Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта. В нем рассмотрены все основные вопросы авторского права: история становления и развития; субъекты и объекты авторского права; договоры, заключаемые автором произведения; права, смежные с авторскими; защита авторских и смежных прав.

Содержание
Предисловие 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Геометрические векторы 5
1.1. Линейные операции над векторами 5
1.2. Скалярное произведение векторов 8
2. Прямая и плоскость 10
2.1. Прямая на плоскости 10
2.2. Плоскость 17
2.3. Прямая в пространстве 21
2.4. Прямая и плоскость в пространстве 24
3. Кривые второго порядка 27
3.1. Окружность 27
3.2. Эллипс 28
3.3. Гипербола 30
3.4. Парабола 31
Практикум по аналитической геометрии 32
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
4. Определители 39
4.1. Комплексные числа 39
4.2. Определители матриц второго и третьего порядка 43
4.3. Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца 44
4.4. Свойства определителей n-го порядка 46
4.5. Вычисление определителей 48
5. Матрицы 50
5.1. Действия с матрицами 50
5.2. Обратная матрица 53
5.3. Ранг матрицы 57
6. Решение систем линейных уравнений 60
6.1. Формулы Крамера 61
6.2. Общее решение системы линейных уравнений 63
7. Системы векторов и уравнений 70
7.1. Разложение вектора по системе векторов 70
7.2. Линейная зависимость 73
7.3. Базис и ранг системы векторов 77
7.4. Векторы и матрицы 82
7.5. Ортогональные системы векторов 84
7.6. Системы линейных уравнений 87
8. Векторные пространства 93
8.1. Подпространства 94
8.2. Размерность и базис 95
8.3. Координаты вектора 98
8.4. Пересечение и сумма подпространств 100
8.5. Евклидовы и унитарные подпространства 102
9. Матрицы и квадратичные формы 106
9.1. Собственные значения и собственные векторы матрицы 106
9.2. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду 108
9.3. Ортогональные и симметрические матрицы 110
9.4. Квадратичные формы 114
Практикум 1 по линейной алгебре 117
Практикум 2 по линейной алгебре. 127
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
10. Функции одной переменной 135
10.1. Функциональная зависимость и способы ее представления 135
10.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций 139
11. Пределы 142
11.1. Числовые последовательности и пределы 142
11.2. Первый и второй замечательные пределы 144
11.3. Предел функции 145
11.4. Сравнение бесконечно малых функций 147
11.5. Непрерывность функций. Разрывные функции 148
12. Производная и дифференциал 149
12.1. Правила дифференцирования. Вычисление производных 149
12.2. Производные высших порядков 153
12.3. Касательная и нормаль к плоской кривой 154
12.4. Приближенное вычисление действительных корней уравнения 156
12.5. Дифференциалы первого и высшего порядков и их применение 159
12.6. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически 161
12.7. Исследование функций и построение графиков 163
12.7.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 163
12.7.2. Формула Тейлора 167
12.7.3. Интервалы монотонности 169
12.7.4. Экстремум функции 170
12.7.5. Выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость), Точки перегиба. Асимптоты 173
13. Функции многих переменных 179
13.1. Область определения, способы задания, линии и поверхности уровня 179
13.2. Частные производные. Производная по направлению. Градиент 181
13.3. Дифференциал 186
13.4. Частные производные высших порядков 188
13.5. Экстремумы функций двух переменных 190
13.6. Условный экстремум 192
13.7. Метод наименьших квадратов 194
Практикум по математическому анализу 197
14. Неопределенный интеграл 202
14.1. Непосредственное интегрирование 202
14.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала и методом подстановки 204
14.3. Интегрирование по частям 205
14.4. Интегрирование рациональных функций 206
14.5. Интегрирование тригонометрических функций 208
14.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций 211
15. Определенный интеграл 212
15.1. Непосредственное вычисление определенного интеграла и подведение под знак дифференциала 212
15.2. Замена переменных в определенном интеграле 214
15.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле 215
15.4. Приложение определенного интеграла 216
15.5. Несобственные интегралы 218
15.6. Кратные интегралы 221
16. Дифференциальные уравнения 223
16.1. Основные понятия и определения 223
16.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 225
16.3. Уравнения л-го порядка, допускающие понижение порядка 230
16.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 233
17. Ряды 238
17.1. Понятие ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов 238
17.2. Признаки сходимости положительных рядов 240
17.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость 244
17.4. Функциональные ряды 245
17.5. Степенные ряды 248
17.6. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов к приближенным вычислениям. 250
Практикум 2 по математическому анализу 254
18. Применение аналитической геометрии и математического анализа в экономике 265
18.1. Применение аналитической геометрии 265
18.2. Предельный анализ 276
18.3. Применение интегрального исчисления 287
18.4. Применение дифференциальных уравнений 297
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
19. Случайные события 303
19.1. Множество событий. Классическое определение вероятности события 303
19.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 306
19.3. Вероятность появления хотя бы одного события 309
19.4. Формула полной вероятности и формула Байеса 310
19.5. Формулы Бернулли и Пуассона 311
20. Дискретные случайные величины 314
20.1. Закон распределения вероятностей 314
20.2. Математическое ожидание и дисперсия 319
21. Непрерывные случайные величины 323
21.1. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности 323
21.2. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана 326
21.3. Равномерное распределение 328
21.4. Нормальное распределение 330
21.5. Показательное распределение 331
22. Система : случайных величин 333
22.1. Закон распределения двумерной случайной величины 333
22.2. Числовые характеристики системы двух случайных величин 335
Практикум по теории вероятностей 340
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
23. Выборка и ее представление 347
23.1. Pacпpеделение частот 347
23.2. Эмпирическая функция распределения 350
23.3. Полигон и гистограмма 353
24. Статистическое оценивание 357
24.1.Точечнгые оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия 357
24.2. Метод моментов 360
24.3. Метод наибольшего правдоподобия 363
24.4. Интервальные оценки 365
25. Проверка статистических гипотез 368
25.1. Основные понятия 368
25.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием . . .370
25.3. Сравнение двух дисперсий 373
25.4. Сравнение двух математических ожиданий 376
25.5. Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона 381
26. Регрессионный анализ 388
26.1. Линейная регрессия с несгруппированными данными 388
26.2. Линейная регрессия со сгруппированными данными 391
27. Дисперсионный анализ 396
Практикум по математической статистике 401
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
28. Математическая модель задачи математического программирования 412
28.1. Примеры составления математических моделей экономических задач 413
28.2. Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме 415
29. Графический метод решения задач линейного программирования 419
29.1. Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными 419
29.2. Графический метод решения задач линейного программирования с n переменными 424
30. Симплексный метод решения задач линейного программирования 432
30.1. Опорное решение задачи линейного программирования 432
30.2. Алгоритм симплексного метода 436
30.3. Метод искусственного базиса 446
31. Теория двойственности 457
31.1. Составление математических моделей двойственных задач 457
31.2. Первая теорема двойственности 462
31.3. Вторая теорема двойственности 467
31.4. Двойственный симплексный метод (метод последовательного уточнения оценок) 470
32. Транспортная задача линейного программирования 476
32.1. Математическая модель транспортной задачи 476
32.2. Опорное решение транспортной задачи. 479
32.3. Метод потенциалов 485
32.4. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность 493
32.5. Транспортная задача по критерию времени 497
33. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования 500
Практикум по линейному программированию 505
Приложения 517
Ответы.
Метод моментов.
При заданном виде закона распределения случайной величины X неизвестные параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить как функцию вариант выборки, на основе метода моментов.
Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие теоретические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распределении для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если имеются два параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять соответственно два теоретических и эмпирических момента и т.д.
Примеры:
24.21.  Найти доверительный интервал с надежностью 0,8 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины X со средним квадратичным отклонением аx - 5, выборочной средней хb - 20 и объемом выборки п = 25.
24.22. На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещенную оценку выборочной дисперсии s2 = 16, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью а) 0,8;   б) 0,9;   в) 0,95.